Регион 2025

Обозначим общее число медведей через Тогда всего заплывов сделано не менее

С другой стороны, общее число заплывов равно количеству пар островов, то есть Таким образом,

откуда

и, следовательно,

Посчитаем, сколько медведей было в начале и в конце года на каждом из островов. В сумме получится не более потому что каждый медведь в начале и в конце года был на одном из островов. Поскольку

тогда по принципу Дирихле на каком-то острове в начале и в конце года в сумме было не более одного медведя.

Пусть в начале года на медведей не было, а в конце года там был ровно медведь. Тогда общее число заплывов, заканчивающихся на острове на больше общего числа заплывов, которые на острове начинаются. Таким образом, остров был начальной или конечной точкой для нечётного числа заплывов, но это количество должно равняться (по одному заплыву в каждую сторону для каждого из других островов), что чётно, – противоречие.

Аналогично выясняется, что наоборот тоже не бывает: если в начале года на острове был один медведь, а в конце года – ноль, то число заплывов, начинающихся на на больше числа заплывов, заканчивающихся на что снова даёт нечётное общее число заплывов, связанных с (но чётно).

Итого на острове и в начале, и в конце года медведей не было, что и требовалось.