Открытая летняя олимпиада: начинающие - Каталог заданий по Школа

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126386Максимум баллов за задание: 7

“Раздели шоколадку с друзьями — и радости прибавится!”

В летнем математическом лагере Капибарик хотел угостить друзей шоколадкой и разрезал плитку $4× 6$ на дольки $1 ×1.$ Пять долек он отдал Марку, который их сразу съел. Остальные дольки Капибарик разрезал по обеим диагоналям. Сколько маленьких треугольных кусочков у него получилось?

Показать ответ и решение

Плитка размером $4× 6$ состоит из $4 ⋅6 =24$ квадратных долек.

Капибарик отдал Марку $5$ долек, значит осталось $24 − 5 =19$ долек.

Каждую оставшуюся дольку он разрезал по обеим диагоналям. При разрезании квадрата по двум диагоналям он делится на $4$ равных треугольника.

Следовательно, из каждой из $19$ долек получается $4$ треугольных кусочка:

19 ⋅4 =76.

Ответ:

$76$ маленьких треугольных кусочков.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#126387Максимум баллов за задание: 7

“Порядок — это когда каждый на своём месте, даже в очереди за пирожком!”

В очереди в школьный буфет стоят Капибарик, Марк, дядя Капибар, Соня и Дима. Известно, что:

$∙$ Капибарик стоит впереди Сони, но после Димы;

$∙$ дядя Капибар и Дима не стоят рядом;

$∙$ Марк не находится рядом ни с Димой, ни с Капибариком, ни с дядей Капибаром.

В каком порядке стоят ребята?

Показать ответ и решение

Из условия $1)$ следует, что посетители стоят в таком порядке: Дима, Капибарик, Соня. Поскольку ни Марк, ни Дядя Капибар не стоят рядом с Димой (условия $2)$ и $3)$ ), значит, Дима стоит первый, Капибарик второй. Из условия $3)$ следует, что Марк может стоять только с краю - рядом с Соней. Из условий $2)$ и $3)$ следует, что Дядя Капибар может стоять только между Капибариком и Соней. Итак, посетители стоят в следующем порядке: Дима, Капибарик, Дядя Капибар, Соня, Марк.

Ответ:

Дима, Капибарик, дядя Капибар, Соня, Марк

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#126388Максимум баллов за задание: 7

“В шахматах, как в жизни — иногда нужно сыграть вничью, чтобы выиграть!”

Четыре шахматиста: Алексей, Борис, Владимир и Дмитрий сыграли между собой по одной партии. Первые три шахматиста все партии между собой сыграли вничью. Как распределились между ними места в турнире, если Борис занял более высокое место, чем Владимир, но менее высокое, чем Алексей?

Показать ответ и решение

1. Анализ условий

Имеем $4$ участника, каждый сыграл по $3$ партии. По условию:

Алексей, Борис и Владимир между собой сыграли все партии вничью
Борис > Владимир (по положению)
Алексей > Борис

2. Заполнение турнирной таблицы


№	Участник	Алексей	Борис	Владимир	Дмитрий

1	Алексей	-	0,5	0,5	1

2	Борис	0,5	-	0,5	0,5

3	Владимир	0,5	0,5	-	0

4	Дмитрий	0	0,5	1	-

3. Пояснение к таблице:

Взаимные результаты первых трёх участников:
- Алексей-Борис: $0,5 − 0,5$
- Алексей-Владимир: $0,5− 0,5$
- Борис-Владимир: $0,5− 0,5$
Результаты с Дмитрием определяем исходя из условий:
- Алексей > Борис -> Алексей должен иметь больше очков -> Алексей выиграл у Дмитрия ( $1− 0$ )
- Борис > Владимир -> Борис сыграл с Дмитрием вничью ( $0,5− 0,5$ )
- Владимир проиграл Дмитрию ( $0− 1$ )

4. Подсчёт очков


Участник	Очки	Место

Алексей	0,5 + 0,5 + 1 = 2	1

Борис	0,5 + 0,5 + 0,5 = 1,5	2

Дмитрий	0 + 0,5 + 1 = 1,5	2

Владимир	0,5 + 0,5 + 0 = 1	4

5. Определение мест

Алексей набрал $2$ очка — $1$ место
Борис и Дмитрий набрали по $1,5$ очка — делят $2 − 3$ места
Владимир набрал $1$ очко — $4$ место

Ответ

Итоговое распределение мест:

1.: Алексей ( $2$ очка)
2.: Борис и Дмитрий (по $1,5$ очка)
3.: Владимир ( $1$ очко)

Ответ:

$1)$ Алексей, $2 − 3)$ Борис и Дмитрий, $4)$ Владимир

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#126389Максимум баллов за задание: 7

“Дни рождения — как конфеты: всегда собираются группами!” — Капибарик.

На кружке “Школково” Капибарик готовил викторину для $35$ одноклассников, в которой нужно было разбиться на команды по месяцу рождения. “Обязательно найдётся месяц, где день рождения празднуют минимум трое!” — уверенно сказал их преподаватель, Дядя Капибар. Прав ли он?

Показать ответ и решение

По принципу Дирихле: если распределить $35$ учеников по $12$ месяцам, то хотя бы в одном месяце будет $⌈35⌉= 3 12$ дня рождения.

Ответ:

Да, найдётся такой месяц.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#126390Максимум баллов за задание: 7

“Книги размножаются — стульев нужно больше!” — Библиотекарь.

В библиотеке “Школково” в ряд стояли стулья для читателей. Когда к концу учебного года привезли новую партию книг, между каждыми двумя стульями поставили по одному дополнительному стулу. Такую же перестановку сделали после второй и третьей партии книг. В итоге в библиотеке стало $257$ стульев. Сколько стульев было изначально?

Показать ответ и решение

Количество промежутков между стульями всегда на $1$ меньше, чем самих стульев. Каждый раз добавляется столько новых стульев, сколько было промежутков, то есть (исходное количество — $1$ ). Это эквивалентно операции: умножить количество на $2$ и вычесть $1.$

Чтобы найти исходное количество, нужно выполнить обратную операцию $3$ раза (так как книги привозили трижды): прибавить $1$ и разделить на $2.$ Начинаем с конечного числа $257:$

$(257+ 1):2 =129$
$(129 +1):2= 65$
$(65+1):2 =33$

Ответ:

$33$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#126391Максимум баллов за задание: 7

“Цветы растут по математическим законам!”

На уроке садоводства в волшебном саду у Капибарика в один ряд выросло семь кустов папоротника. Если сравнить любые два соседних куста, то количество цветов на них отличается ровно на $5.$ Может ли общее количество цветов на всех кустах быть равно $2025?$

Показать ответ и решение

Заметим, что чётности количества цветов на соседних кустах противоположны (так как разность нечётная). Значит, кусты с чётным и нечётным количеством цветов чередуются. Среди семи кустов будет $4$ чётных и $3$ нечётных или $3$ чётных и $4$ нечётных. Вариант, когда на $3$ кустах чётное число цветов и на $4$ – нечётное, нам не подходит, ведь число $2025$ — нечётное. А вот сумма $4$ чётных и $3$ нечётных кустов будет нечётной. Тогда это возможно, оценку мы выполнили – осталось только найти пример. Пример: $290,$ $285,$ $290,$ $295,$ $290,$ $285,$ $290.$

Ответ: Да, можно. Пример: 290, 285, 290, 295, 290, 285, 290.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#126392Максимум баллов за задание: 7

“Календарь — это не просто числа, а тайный код, где воскресенья прячутся между строками!”

Летом Марк и Соня листали календарь в ожидании начала нового кружка и заметили, что в одном из месяцев календаря ровно $5$ воскресений. При этом первый и последний день месяца не были воскресеньями. Каким днём недели было $15$ -е число этого месяца?

Показать ответ и решение

Рассмотрим все возможные варианты начала месяца:

1.: Понедельник: Воскресенья будут $7,14,21,28$ — всего $4$ (не подходит)
2.: Вторник: Воскресенья $6,13,20,27$ — $4$ (не подходит)
3.: Среда: Воскресенья $5,12,19,26$ — $4$ (не подходит)
4.: Четверг: Воскресенья $4,11,18,25$ — $4$ (не подходит)
5.: Пятница: Воскресенья $3,10,17,24,31$ — $5$ , но $31$ -е — последний день (не подходит)
6.: Суббота: Воскресенья $2,9,16,23,30$ — $5$ (подходит, если в месяце $31$ день)
7.: Воскресенье: Противоречит условию (первый день — воскресенье)

Единственный подходящий вариант — месяц начинался в субботу. Тогда:

1-е число — суббота
2-е — воскресенье
...
15-е число: $(15 − 1) mod 7 =0$ -> тот же день, что и $1$ -е число + $1$ день = воскресенье

Но по условию воскресенья были $2,9,16,23,30$ , значит:

1-е — суббота
2-е — воскресенье
8-е — суббота
15-е — суббота

После проверки получаем, что $15$ -е число было Субботой.

Ответ:

Суббота

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#126516Максимум баллов за задание: 7

“Цветы растут по математическим законам!”

На уроке садоводства в волшебном саду у Капибарика в один ряд выросло семь кустов папоротника. Если сравнить любые два соседних куста, то количество цветов на них отличается ровно на $5.$ Может ли общее количество цветов на всех кустах быть равно $2025?$

Показать ответ и решение

Заметим, что чётности количества цветов на соседних кустах противоположны (так как разность нечётная). Значит, кусты с чётным и нечётным количеством цветов чередуются. Среди семи кустов будет $4$ чётных и $3$ нечётных или $3$ чётных и $4$ нечётных. Вариант, когда на $3$ кустах чётное число цветов и на $4$ – нечётное, нам не подходит, ведь число $2025$ — нечётное. А вот сумма $4$ чётных и $3$ нечётных кустов будет нечётной. Тогда это возможно, оценку мы выполнили – осталось только найти пример. Пример: $290,$ $285,$ $290,$ $295,$ $290,$ $285,$ $290.$

Ответ:

Нет, не может.