Тема Открытая летняя олимпиада: продолжающие

Открытая летняя олимпиада: продолжающие

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126393Максимум баллов за задание: 7

После того, как Нюша и Крош нашли в лесной пещере древний цифровой артефакт, похожий на гигантский сейф с экраном. Крош, не долго думая, тут же начал тыкать по кнопкам. На экране сейфа появилось загадочное сообщение:

“Мой пароль — шестизначное число, которое начинается с $1$ . Если переместить эту цифру в конец, новое число будет втрое больше старого. Ответь на загадку и получишь ключ к разгадке!”

Крош воскликнул: “Ёлки-иголки! Это же чистой воды математический ребус!”

Помоги смешарикам справиться с этой головоломкой: расшифруйте пароль от сейфа.

“Кругом одни теоретики! А жизнь, это это прежде всего — практика!”

— Крош

Показать ответ и решение

Пароль от сейфа можно представить как $--- 1N =100000+ N$ , где $N$ — пятизначное число, составленное из неизвестных нам цифр. После переноса $1$ в конец новое число будет иметь запись $--- N1.$ Что произошло с числом? Каждая цифра числа $N$ сдвинулась на один разряд влево, то есть $--- N1 = 10N +1.$ Известно, что новое число втрое больше старого, тогда получим уравнение: $3 ⋅(100000 + N)= 10N + 1.$ Решаем его и получаем, что $N = 42857.$ Тогда пароль от сейфа был: $142857.$

Ответ: 142857

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#126394Максимум баллов за задание: 7

Совунья, тяжело вздыхая от усталости, заявила: “Я разложила $2025$ корзинок с малиной по кругу для праздника!” Для трёх подряд идущих корзинок она посчитала и выписала сумму. Получилось, что Совунья выписала сумму $100$ ровно тысячу раз, тысячу раз получила сумму $103$ , двадцать раз — $97$ и пять раз — $105$ . “Всё точь-в-точь!” — заверила она.

Докажите, что Совунья ошиблась, даже не заглядывая в корзинки!

“Что-то я устала... Надо немного отдохнуть...”

— Совунья

Показать ответ и решение

Если бы Совунья не ошиблась, то общая сумма всех посчитанных сумм должна быть равна сумме всех возможных троек чисел, умноженной на их количество. То есть, если бы все суммы были правильными, то сумма всех этих сумм должна быть равна: $100⋅1000 +103 ⋅1000+ 97⋅20+ 105⋅5= 205465.$ С другой стороны, так как числа расположены по кругу, то каждое число из $2025$ чисел входит ровно в три тройки. Тогда каждое число в общей сумме посчитано три раза: $3⋅n = 205465$ , где $n$ — сумма всех ягод в корзинках. Но $205465$ не кратно $3.$ Значит, Совунья ошиблась.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#126395Максимум баллов за задание: 7

Однажды осенью Крош и Ёжик гуляли по лесу и наткнулись на старую сосну, украшенную гирляндой из $12$ красных флажков. Каждый флажок был пустым, будто ждал своего часа.

— Смотри-ка! — воскликнул Крош, прыгая от предвкушения. — Давай сыграем в “Цифровую битву”! Мы по очереди будем писать на флажках цифры от $1$ до $9$ .

Ёжик, поправив очки, задумчиво кивнул:

— Интересно... Но как мы поймём, кто выиграл?

— Всё просто! — Крош уже схватил мелок. — Когда заполним все флажки, проверим число. Если получившееся число разделится на $11$ — ты победишь. А если нет — моя победа!

Игра началась. Крош начал первым. Когда последний флажок был заполнен, все замерли. Теперь предстояло узнать: кто мог выиграть в этой игре независимо от ходов соперника?

Показать ответ и решение

Вспомним, что число делится на $11$ , если сумма цифр, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах, либо отличается от неё на $11$ . В результате игры мы получим $12$ -значное число, то есть цифр, стоящих на чётных и нечётных местах будет поровну (по $6$ ). Крош начинает первым. Приведём стратегию за Ёжика, позволяющую ему победить. Если Крош ставит некоторую цифру на чётную позицию, то Ёжик будет записывать ту же цифру, но на нечётную, и наоборот. Игра закончится через 12 ходов. Последний ход будет у Ёжика. Тогда на чётных и нечётных местах будут записаны одинаковые цифры, и эти две суммы будут равны.

Ответ: Победит Ёжик

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#126396Максимум баллов за задание: 7

Лосяш, Кар-Карыч и Пин отправились на поиски легендарного клада “Великого лжеца” и случайно оказались на таинственном острове Тумба-Юмба. Остров разделен на две части: север и юг. Племя cеверян живет у Ледяных пещер и обожает математику и логические головоломки. Племя южан обитает в Райских джунглях и любит подвохи и запутанные загадки.

Известно, что каждый житель острова — либо эльф, говорящий только правду, либо тролль, который всегда врет. Когда cмешарики прибыли в центр острова, вожди обоих племен устроили Большой Совет. На собрании каждый островитянин заявил: “В моем племени троллей больше, чем в соседнем!” Лосяш, задумчиво потирая лоб, обратился к Кар-Карычу:

— Друг мой любезный, если эльфы говорят правду, а тролли врут, может ли на острове быть ровно $2025$ жителей?

Кар-Карыч так и не смог ответить на вопрос Лосяша. А вы сможете?

“Для некоторых заблуждения уютней истины...”

— Лосяш

Показать ответ и решение

Все островитяне произнесли одну и ту же фразу. Тогда все жители одного племени могут быть только одной расы. Племя не может состоять только из эльфов, ведь тогда они соврут, потому что в соседнем племени не может быть меньше, чем 0 жителей — тролли. Тогда оба племени состоят только из троллей. Тогда жителей в племенах должно быть поровну, так как если в одном племени будет больше жителей, то, значит, все тролли из более многочисленного племени говорят правду, что невозможно. В племенах жителей поровну, тогда и суммарное число жителей должно быть чётным. Но $2025$ — нечётное, противоречие. На острове не могло быть ровно $2025$ жителей.

Ответ: Не могло быть

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#126397Максимум баллов за задание: 7

В Ромашковой Долине Крош с Ёжиком решили провести игру. На лужайке появилась большая клетчатая доска размером $7× 7$ клеток — почти как шахматная, только ярче! Крош предложил друзьям придумать на ней загадочный маршрут для поиска клада: в некоторых клетках он ярко нарисовал морковки, чтобы обозначить “секретные точки”.

Известно, что в каждой строке и каждом столбце Крош обязательно поставил хотя бы одну морковку. Ёжик заметил следующее: в каждой строке находится нечётное число морковок, а в каждом столбце Крош нарисовал ровно столько морковок, чтобы их число делилось на $3.$ Какое минимальное и максимальное количество клеток с морковками могло быть при таких правилах?

“Морковка! Морковка, морковка! Что такое морковка? Нельзя же всё в этой жизни оценивать в морковках! Ведь есть же и другие ценности, настоящие!”

— Совунья

Показать ответ и решение

В каждом столбце количество морковок кратно $3.$ Значит, в каждом столбце может быть либо $3$ , либо $6$ морковок. Всего морковок не меньше $7 ⋅3 = 21.$

Суммируя количество морковок по строкам, мы видим, что общее число должно быть нечётным. Суммируя по столбцам, получаем, что оно делится на $3$ . При этом в каждом столбце не более $6$ морковок из $7$ возможных. Значит, всего нарисовано не больше, чем $6⋅7= 42$ морковки.

Единственное наибольшее нечётное число, кратное $3$ , не превосходящее $42$ , — это $39$ . Следовательно, в таблице не больше $39$ морковок. Примеры для каждого случая на картинке ниже.

$PIC$

Ответ: Минимальное количество клеток с морковками – 21, максимальное – 39

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#126398Максимум баллов за задание: 7

Пин объявил о масштабном турнире “Кубок Круглых Героев”. В нём участвовали $100$ cмешариков. За время тренировок каждый успел подружиться ровно с $70$ соперниками. Также оказалось, что есть $50$ смешариков, любые двое из которых дружат.

— Задача проста!— воскликнул Крош, размахивая стартовым флажком. — Перед началом турнира нужно поделиться на две команды!

Докажите, что всех участников турнира можно разбить на две команды, так чтобы любые два смешарика, попавших в одну команду были, друзьями.

“Спорт, дорошуга, это не только быстрый совок и тонны песка, это ещё — психология!”

— Совунья

Показать ответ и решение

Пусть каждые двое друзей совершат рукопожатие. Пусть команда $\text{[math]}$ будет состоять из $50$ смешариков, любые двое из которых дружат. А остальные $50$ смешариков окажутся в команде $B$ . Каждый из $50$ участников команды $\text{[math]}$ знаком с $49$ другими участниками своей команды и $21$ участником команды $B$ . Значит, смешарики из команды $A$ совершили с участниками команды $B$ всего $1050$ рукопожатий. Поскольку в сумме у участников команды $B$ должно быть $70⋅50 =3500$ рукопожатий, $1050$ из них приходятся на рукопожатия между собой (между участниками команды $B$ ). Так как каждый из команды $B$ мог пожать руки только $49$ участникам своей команды, отсюда следует, что между ними были совершены все возможные рукопожатия ( $3500 − 1050 =50 ⋅49$ ), значит, каждый из команды $B$ дружит с каждым, что и требовалось доказать.

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#126399Максимум баллов за задание: 7

В день решающего футбольного матча cмешарики собрались на стадионе, где Пин построил специальные трибуны с двумя рядами кресел — по $4$ в каждом, один ряд ровно за другим. На игру пришли $8$ болельщиков разного роста: Крош, Ёжик, Нюша, Бараш, Совунья, Пин, Лосяш и Копатыч. Совунья, капитан команды, объявила перед матчем:

— Друзья, чтобы всем было видно игру, рассаживайтесь так: каждый в первом ряду должен быть ниже того, кто сидит за ним!

Сколькими способами можно рассадить cмешариков так, чтобы всем было видно результаты матча и никто не загораживал обзор на поле?

“Копатыч — чемпион по спортивному счёту ворон!”

— Крош

Показать ответ и решение

Пронумеруем смешариков в порядке возрастания роста и подсчитаем количество рассадок, в которых смешарики в первом ряду упорядочены по номеру слева направо.

Самым левым всегда будет смешарик с номером $1$ , за ним во втором ряду может сидеть любой из остальных $7.$ Во второй паре в первом ряду сядет смешарик с наименьшим доступным номером, а за ним может сидеть любой из $5$ оставшихся. В третьей паре в первом ряду сядет смешарик с наименьшим доступным номером, а за ним может сидеть любой из $3$ оставшихся. Четвертая пара получается из оставшихся смешариков, и их можно усадить единственным образом. Тогда получается $7⋅5⋅3= 105$ упорядоченных рассадок. Каждая из них дает $4!$ перестановок, поэтому общее количество способов равно $105⋅24= 2520.$

Ответ: 2520

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания