Закл 2025
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Диагонали выпуклого четырёхугольника 
пересекаются в точке 
Точки касания описанных окружностей треугольников 
и
с их общими внешними касательными лежат на окружности 
Точки касания описанных окружностей треугольников 
и 
с их общими внешними касательными лежат на окружности 
Докажите, что центры окружностей 
и 
совпадают.
Источники:
Подсказка 1:
Давайте введём следующие обозначения: O_{AB}, O_{BC}, O_{CD}, O_{AD} — центры окружностей (ABE), (BCE), (CDE), (ADE), a T₁, T₂ — точки касания одной из внешних касательных к окружностям, описанным около ABE и CDE. Обратите внимание на прямоугольную трапецию O_{AB}T₁T₂O_{CD}. В частности, на середину O_{AB}O_{CD}. Что можно про неё сказать?
Подсказка 2:
Если сделать симметрию относительно точки O, во что перейдет окружность ω? Какие выводы можно сделать?
Подсказка 3:
Точка O — центр ω. Аналогичные рассуждения можно проделать с серединой O_{AD}O_{BC}. Значит, мы хотим показать, что середины отрезков O_{AD}O_{BC} и O_{AB}O_{CD} совпадают. А что для этого достаточно доказать?
Подсказка 4:
Достаточно доказать, что четырехугольник O_{AB}O_{BC}O_{CD}O_{AD} — параллелограмм. Попробуйте для этого показать, что его противолежащие стороны параллельны.
Обозначим центры описанных окружностей треугольников 
через 
соответственно. Пусть 
— точки касания одной из общих касательных с описанными окружностями треугольников 
и
соответственно; обозначим через 
и 
середины отрезков 
и 
соответственно. Тогда в прямоугольной
трапеции 
прямая 
— средняя линия, поэтому она является серединным перпендикуляром к отрезку 
Заметим,
что окружность 
симметрична относительно прямой 
на которой также лежит точка 
значит, 
— центр
Аналогично получаем, что середина отрезка 
является центром 
Поэтому утверждение задачи равносильно тому, что
— параллелограмм. Для доказательства этого достаточно заметить, что 
и 
— серединные
перпендикуляры к отрезкам 
и 
поэтому 
аналогично, 
откуда и следует
требуемое.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
