Закл 2025
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
По кругу выписаны 100 единиц. Петя и Вася играют в игру, каждый делает по 
ходов. Петя каждым своим ходом выбирает 9
стоящих подряд чисел и уменьшает каждое из них на 2. Вася каждый своим ходом выбирает 10 стоящих подряд чисел
и увеличивает каждое из них на 1. Ребята ходят по очереди, начинает Петя. Докажите, что Вася сможет действовать
так, чтобы после каждого его хода среди 100 выписанных чисел было не менее пяти положительных, как бы ни играл
Петя.
Источники:
Подсказка 1:
Нам нужно гарантировать 5 положительных чисел в любой момент. Есть несколько способов доказывать подобные утверждения. Первый способ: для любого момента доказать, что эти 5 чисел где-то найдутся, то есть просто доказать их существование. Второй способ: построить некоторый алгоритм ходов за Васю, зафиксировав некоторые числа, и доказать, что в любой момент именно они будут подходить (ну либо какие-то из них). Что же нам выбрать?
Подсказка 2:
Предпочтительнее для нас второй способ. Объясню почему. Доказывать существование нужно через какие-то оценки, общие суммы и так далее. Но мы смотрим на числа в целом, а в целом ходы Пети гораздо сильнее уменьшают общую сумму, нежели ходы Васи, поэтому через много ходов с помощью общих сумм и оценок мы просто не сможем доказать существование положительных чисел. Итого хотим найти некоторый набор чисел, который нам будет подходить в каждый момент.
Подсказка 3:
Доказывать, что какое-то число будет всегда положительным — гиблый номер, ибо Петя может с лёгкостью этому помешать. Если с одним числом не получилось, стоит рассмотреть пару...
Подсказка 4:
Попробовать доказать, что в какой-то паре при заданной стратегии хотя бы одно число будет положительным, уже не кажется плохой идеей. Однако пару тоже можно взять не любую...
Подсказка 5:
Если между числами из пары будет менее 8 чисел, то вновь Петя может всё испортить, так как одним ходом может уменьшить оба числа. Что же с парой чисел, между которыми ровно 8 других?
Подсказка 6:
Петя задевает ровно одно число из пары, в то время как Вася может прибавлять 1 сразу к обоим. Что тогда можно сказать про общую сумму в паре?
Подсказка 7:
Вася может сделать так, чтобы она не уменьшалась. А изначально сумма в паре положительна. Кажется, стратегия за Васю напрашивается сама собой, осталось найти 5 нужных пар. Успехов!
Обозначим записанные по кругу числа 
…, 
Вася будет следить лишь за десятью числами, которые он разобьёт на пары:
…, 
За один ход Петя может уменьшить не более, чем одно из этих 10 чисел. Если Петя
уменьшил одно из чисел пары 
Вася в ответ добавит 1 к числам 
…, 
Если же Петя не уменьшил
ни одно из этих 10 чисел, Вася сделает любой разрешённый ход. Таким образом, после пары ходов Пети и Васи сумма
чисел в каждой из пяти Васиных пар не уменьшится. Поскольку изначально пять сумм в парах положительны, то после
каждого Васиного хода сумма в каждой из этих пяти пар будет положительной, поэтому в каждой из пар будет хотя бы
одно положительное число. Таким образом, после любого Васиного хода будет хотя бы 5 положительных чисел, что и
требовалось.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
