Тема 18. Задачи с параметром

18.08 Разные методы. Исследование замены

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126972

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

y = |x +7|+ |x − a|

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Исследуем функцию $y = |x +7|+ |x − a|.$ Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x+ 7 =0 x− a =0 x= − 7 x = a

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра $a.$

Рассмотрим случай $− 7 ≤a.$ Тогда у выражения $|x+ 7|+|x− a|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x−a−−+−++ 7$
- Если $x ≤− 7,$ то
  $y = −x − 7 − x + a= −2x − 7 +a.$
- Если $− 7 <x < a,$ то
  $y = x +7 − x + a= 7+ a.$
- Если $a≤ x,$ то
  $y = x +7 +x − a= 2x+ 7− a.$
Построим эскиз графика этой функции:

$0xy−ayyy 7===−272x+x+−a77−+ a a$

Таким образом,
- если $y < a+ 7,$ то у уравнения $y = |x+ 7|+|x− a|$ нет решений.
- если $y = a +7,$ то у уравнения $y = |x + 7|+ |x− a|$ бесконечно много решений при $a⁄= −7$ и ровно одно решение при $a= − 7.$
- если $y > a +7,$ то у уравнения $y = |x+ 7|+ |x− a|$ ровно два решения.
Рассмотрим случай $a< − 7.$ Тогда у выражения $|x +7|+ |x − a|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$xa−−−−+++ 7$
- Если $x ≤a,$ то
  $y = −x − 7 − x + a= −2x − 7 +a.$
- Если $a< x < −7,$ то
  $y = −x − 7 +x − a= −7 − a.$
- Если $− 7 ≤x,$ то
  $y = x +7 +x − a= 2x+ 7− a.$
Построим эскиз графика этой функции:

$0xy−ayyy 7===−2−2x7x+−−7 a7−+ a a$

Таким образом,
- если $y < −a− 7,$ то у уравнения $y = |x +7|+ |x − a|$ нет решений.
- если $y = −a − 7,$ то у уравнения $y = |x+ 7|+|x− a|$ бесконечно много решений.
- если $y > − a− 7,$ то у уравнения $y = |x +7|+ |x − a|$ ровно два решения.

Ответ:

Если $a≥ −7,$ то при $y ≥ a+ 7$

Если $a < −7,$ то при $y ≥− 7− a$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse