Тема 18. Задачи с параметром

18.08 Разные методы. Исследование замены

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126967

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

y = 4x +|x+ a|

имеет ровно одно решение?

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $y = 4x+ |x + a|.$ Найдём точку обнуления модуля:

x+ a= 0 ⇔ x =− a

Определим знаки подмодульного выражения на вещественной прямой:

$x−−+xxa++ aa<> 00$

Если $x ≥− a,$ то получаем
$y = 4x+ x+ a= 5x +a.$
Если $x < −a,$ то получаем
$y = 4x− x− a= 3x − a.$

Таким образом, функция $y = 4x +|x+ a|$ имеет вид:

{ y = 3x− a, x < −a 5x+ a, x ≥− a

Это кусочно-линейная функция. Построим эскиз графика этой функции:

$xyy−y0=a= 5x3x +−a a$

Так как полученная функция $y = 4x+ |x + a|$ является строго возрастающей, то она принимает каждое своё значение ровно один раз. Тогда при любом $y$ и при любом значении $a$ уравнение $y =4x +|x+ a|$ имеет единственное решение.

Ответ:

Если $a∈ (−∞;+ ∞ ),$ то при $y ∈ (− ∞;+ ∞ )$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#126968

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

y = |x +a|+ |3x − a + 2|

имеет два различных решения?

Показать ответ и решение

Исследуем данную функцию $y =|x+ a|+ |3x− a+ 2|.$ Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x+ a = 0 3x− a+ 2= 0 x= − a 3x = a− 2 a − 2 x= --3-

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра $a :$

−a≤ a-−-2 3 − 3a≤ a− 2 − 4a≤ −2 a ≥ 0,5

Рассмотрим три случая: $a = 0,5,$ $a< 0,5$ и $a> 0,5.$

При $a= 0,5$ получаем, что $a−-2 − a= 3 .$ Тогда имеем:

$y = |x +0,5|+|3x+ 1,5|= 4|x + 0,5|.$

Раскроем модуль:

$x−−+0,5$
- Если $x ≥− 0,5,$ то получаем
  $y = 4x+ 2.$
- Если $x <− 0,5,$ то получаем
  $y =− 4x− 2.$
Построим эскиз графика этой функции при $a= 0,5:$

$xyyy−0==0,−454xx+−22$

Таким образом,
- если $y < 0,$ то у уравнения $y = |x +a|+ |3x − a + 2|$ нет решений;
- если $y = 0,$ то у уравнения $y =|x+ a|+ |3x− a+ 2|$ одно решение;
- если $y > 0,$ то у уравнения $y = |x +a|+ |3x − a +2|$ два решения;
При $a< 0,5$ получаем, что $a-− 2 < −a. 3$ Тогда у выражения $|x +a|+ |3x − a +2|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x−−−−+++a−a 2 3$
- Если $a− 2 x ≤ -3--,$ то
  $y =− x− a− 3x+ a− 2 =− 4x− 2.$
- Если $a-− 2 < x< − a, 3$ то
  $y = − x− a+ 3x− a+ 2= 2x− 2a+ 2.$
- Если $− a ≤x,$ то
  $y = x+ a+ 3x− a+ 2 =4x +2.$
Построим эскиз графика этой функции:

$a−-−4a 2+2 xyyy−0==a3y−4=34xx+2x−2−2 2a+ 2$

Найдём значение функции в точке $x = a−-2 : 3$

$y = −4⋅ a-− 2 − 2= −4a-+8-− 6-= −-4a-+2-. 3 3 3$

Таким образом,
- если $− 4a+ 2 y <---3---,$ то у уравнения $y = |x+ a|+|3x− a+ 2|$ нет решений;
- если $y = −-4a-+-2, 3$ то у уравнения $y = |x+ a|+ |3x− a+ 2|$ одно решение;
- если $−-4a+-2 y > 3 ,$ то у уравнения $y = |x+ a|+|3x− a+ 2|$ два решения.
При $a> 0,5$ получаем, что $− a < a−-2. 3$ Тогда у выражения $|x +a|+ |3x − a +2|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x−−−+−++aa− 2 3$
- Если $x ≤− a,$ то
  $y =− x− a− 3x+ a− 2 =− 4x− 2.$
- Если $− a <x < a−-2, 3$ то
  $y = x +a − 3x +a − 2= −2x+ 2a− 2.$
- Если $a-− 2 ≤ x, 3$ то
  $y = x+ a+ 3x− a+ 2 =4x +2.$
Построим эскиз графика этой функции:

$xyyy−a40==aa−y−−4 2=4x2x+−−22x2+2a− 2 33$

Найдём значение функции в точке $x = a−-2 : 3$

$y = 4⋅ a−-2 +2 = 4a−-8+-6= 4a-− 2 . 3 3 3$

Таким образом,
- если $y < 4a−-2, 3$ то у уравнения $y = |x+ a|+ |3x− a+ 2|$ нет решений;
- если $4a-− 2 y = 3 ,$ то у уравнения $y =|x+ a|+ |3x− a+ 2|$ ровно одно решение;
- если $4a − 2 y >--3--,$ то у уравнения $y =|x+ a|+ |3x− a+ 2|$ ровно два решения.

Ответ:

Если $a= 0,5,$ то при $y ∈ (0;+∞ )$

Если $a < 0,5,$ то при $( ) y ∈ −4a+-2;+∞ 3$

Если $a > 0,5,$ то при $( ) y ∈ 4a−-2;+∞ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#126969

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

y = 4x+ |x +a|+ |3x − a + 2|

имеет ровно одно решение?

Показать ответ и решение

Исследуем данную функцию $y =4x +|x+ a|+ |3x− a +2|.$ Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x+ a = 0 3x− a+ 2= 0 x= − a 3x = a− 2 a − 2 x= --3-

−a≤ a-−-2 3 − 3a≤ a− 2 − 4a≤ −2 a ≥ 0,5

Рассмотрим три случая: $a = 0,5,$ $a< 0,5$ и $a> 0,5.$

При $a= 0,5$ получаем, что $a−-2 − a= 3 .$ Тогда имеем

$y = 4x+ |x +0,5|+|3x+ 1,5|= 4x+ 4|x + 0,5|.$

Раскроем модуль:

$x−−+0,5$
- Если $x ≥− 0,5,$ то получаем
  $y =4x +4x + 2= 8x+ 2.$
- Если $x <− 0,5,$ то получаем
  $y = 4x− 4x− 2= −2.$
Построим эскиз графика этой функции при $a= 0,5:$

$xyy−y0=0=,58−x2+2$

Таким образом,
- если $y < − 2,$ то у уравнения $y = 4x+ |x+ a|+|3x− a+ 2|$ нет решений;
- если $y = −2,$ то у уравнения $y = 4x+ |x +a|+ |3x − a + 2|$ бесконечно много решений;
- если $y > −2,$ то у уравнения $y = 4x + |x+ a|+ |3x − a +2|$ ровно одно решение.
При $a< 0,5$ получаем, что $a-− 2 < −a. 3$ Тогда у выражения $4x+ |x +a|+ |3x − a + 2|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x−−−−+++a−3a 2$
- Если $x ≤ a−-2, 3$ то
  $y = 4x− x − a − 3x +a − 2= −2.$
- Если $a − 2 --3- < x< − a,$ то
  $y = 4x− x− a+ 3x− a+ 2 =6x − 2a +2.$
- Если $− a ≤x,$ то
  $y = 4x+ x+ a+ 3x− a+ 2 =8x +2.$
Построим эскиз графика этой функции:

$xyya−y0=−a=y82=−x62+x2− 2a+2 3$

Таким образом,
- если $y < − 2,$ то у уравнения $y = 4x+ |x+ a|+|3x− a+ 2|$ нет решений;
- если $y = −2,$ то у уравнения $y = 4x+ |x +a|+ |3x − a + 2|$ бесконечно много решений;
- если $y > −2,$ то у уравнения $y = 4x + |x+ a|+ |3x − a +2|$ ровно одно решение.
При $a> 0,5$ получаем, что $a− 2 − a < -3--.$ Тогда у выражения $4x+ |x +a|+ |3x − a + 2|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x−−−+−++aa−3 2$
- Если $x ≤− a,$ то
  $y = 4x− x − a − 3x +a − 2= −2.$
- Если $− a <x < a−-2, 3$ то
  $y = 4x+ x+ a− 3x+ a− 2 =2x +2a − 2.$
- Если $a-− 2 3 ≤ x,$ то
  $y = 4x+ x+ a+ 3x− a+ 2 =8x +2.$
Построим эскиз графика этой функции:

$a− 2 xyy−y0=a=3y8=−x22+x2+ 2a− 2$

Таким образом,
- если $y < − 2,$ то у уравнения $y = 4x+ |x+ a|+|3x− a+ 2|$ нет решений;
- если $y = −2,$ то у уравнения $y = 4x+ |x +a|+ |3x − a + 2|$ бесконечно много решений;
- если $y > −2,$ то у уравнения $y = 4x + |x+ a|+ |3x − a +2|$ ровно одно решение.

Ответ:

Если $a∈ (−∞;+ ∞ ),$ то при $y ∈(− 2;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#126970

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

y = 4x+ |x +a|+ |3x − a + 2|

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Исследуем полученную функцию. Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x+ a = 0 3x− a+ 2= 0 x= − a 3x = a− 2 a − 2 x= --3-

−a≤ a-−-2 3 − 3a≤ a− 2 − 4a≤ −2 a ≥ 0,5

Рассмотрим три случая: $a = 0,5,$ $a< 0,5$ и $a> 0,5.$

При $a= 0,5$ получаем, что $a−-2 − a= 3 .$ Тогда имеем

$y = 4x+ |x +0,5|+|3x+ 1,5|= 4x+ 4|x + 0,5|.$

Раскроем модуль:

$x−−+0,5$
- Если $x ≥− 0,5,$ то получаем
  $y =4x +4x + 2= 8x+ 2.$
- Если $x <− 0,5,$ то получаем
  $y = 4x− 4x− 2= −2.$
Построим эскиз графика этой функции при $a= 0,5:$

$xyy−y0=0=,58−x2+2$

Таким образом,
- если $y < − 2,$ то у уравнения $y = 4x+ |x+ a|+|3x− a+ 2|$ нет решений;
- если $y = −2,$ то у уравнения $y = 4x+ |x +a|+ |3x − a + 2|$ бесконечно много решений;
- если $y > −2,$ то у уравнения $y = 4x + |x+ a|+ |3x − a +2|$ ровно одно решение.
При $a< 0,5$ получаем, что $a-− 2 < −a. 3$ Тогда у выражения $4x+ |x +a|+ |3x − a + 2|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x−−−−+++a−3a 2$
- Если $x ≤ a−-2, 3$ то
  $y = 4x− x − a − 3x +a − 2= −2.$
- Если $a − 2 --3- < x< − a,$ то
  $y = 4x− x− a+ 3x− a+ 2 =6x − 2a +2.$
- Если $− a ≤x,$ то
  $y = 4x+ x+ a+ 3x− a+ 2 =8x +2.$
Построим эскиз графика этой функции:

$xyya−y0=−a=y82=−x62+x2− 2a+2 3$

Таким образом,
- если $y < − 2,$ то у уравнения $y = 4x+ |x+ a|+|3x− a+ 2|$ нет решений;
- если $y = −2,$ то у уравнения $y = 4x+ |x +a|+ |3x − a + 2|$ бесконечно много решений;
- если $y > −2,$ то у уравнения $y = 4x + |x+ a|+ |3x − a +2|$ ровно одно решение.
При $a> 0,5$ получаем, что $a− 2 − a < -3--.$ Тогда у выражения $4x+ |x +a|+ |3x − a + 2|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x−−−+−++aa−3 2$
- Если $x ≤− a,$ то
  $y = 4x− x − a − 3x +a − 2= −2.$
- Если $− a <x < a−-2, 3$ то
  $y = 4x+ x+ a− 3x+ a− 2 =2x +2a − 2.$
- Если $a-− 2 3 ≤ x,$ то
  $y = 4x+ x+ a+ 3x− a+ 2 =8x +2.$
Построим эскиз графика этой функции:

$a− 2 xyy−y0=a=3y8=−x22+x2+ 2a− 2$

Таким образом,
- если $y < − 2,$ то у уравнения $y = 4x+ |x+ a|+|3x− a+ 2|$ нет решений;
- если $y = −2,$ то у уравнения $y = 4x+ |x +a|+ |3x − a + 2|$ бесконечно много решений;
- если $y > −2,$ то у уравнения $y = 4x + |x+ a|+ |3x − a +2|$ ровно одно решение.

Ответ:

Если $a∈ (−∞;+ ∞ ),$ то при $y ∈[−2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#126971

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

y = |x +2|+ |x − a|

имеет бесконечное число решений?

Показать ответ и решение

Исследуем функцию $y = |x +2|+ |x − a|.$ Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x+ 2 =0 x− a =0 x= − 2 x = a

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра $a.$

Рассмотрим случай $− 2 ≤a.$ Тогда у выражения $|x+ 2|+ |x− a|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x−a−−+−++ 2$
- Если $x ≤− 2,$ то
  $y = −x − 2 − x + a= −2x − 2 +a.$
- Если $− 2 <x < a,$ то
  $y = x +2 − x + a= 2+ a.$
- Если $a≤ x,$ то
  $y = x +2 +x − a= 2x+ 2− a.$
Построим эскиз графика этой функции:

$0xy−ayyy 2===−222x+x+−a22−+ a a$

Таким образом,
- если $y < a+ 2,$ то у уравнения $y = |x+ 2|+|x− a|$ нет решений.
- если $y = a +2,$ то у уравнения $y = |x + 2|+ |x− a|$ бесконечно много решений при $a⁄= −2$ и ровно одно решение при $a= − 2.$
- если $y > a +2,$ то у уравнения $y = |x+ 2|+ |x− a|$ ровно два решения.
Рассмотрим случай $a< − 2.$ Тогда у выражения $|x +2|+ |x − a|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$xa−−−−+++ 2$
- Если $x ≤a,$ то
  $y = −x − 2 − x + a= −2x − 2 +a.$
- Если $a< x < −2,$ то
  $y = −x − 2 +x − a= −2 − a.$
- Если $− 2 ≤x,$ то
  $y = x +2 +x − a= 2x+ 2− a.$
Построим эскиз графика этой функции:

$0xy−ayyy 2===−2−2x2x+−−2 a2−+ a a$

Таким образом,
- если $y < −a− 2,$ то у уравнения $y = |x +2|+ |x − a|$ нет решений.
- если $y = −a − 2,$ то у уравнения $y = |x+ 2|+|x− a|$ бесконечно много решений.
- если $y > − a− 2,$ то у уравнения $y = |x +2|+ |x − a|$ ровно два решения.

Ответ:

Если $a< −2,$ то при $y = −2− a$

Если $a = −2,$ то при $y ∈∅$

Если $a > −2,$ то при $y =2 +a$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#126972

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

y = |x +7|+ |x − a|

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Исследуем функцию $y = |x +7|+ |x − a|.$ Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x+ 7 =0 x− a =0 x= − 7 x = a

Рассмотрим случай $− 7 ≤a.$ Тогда у выражения $|x+ 7|+|x− a|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$x−a−−+−++ 7$
- Если $x ≤− 7,$ то
  $y = −x − 7 − x + a= −2x − 7 +a.$
- Если $− 7 <x < a,$ то
  $y = x +7 − x + a= 7+ a.$
- Если $a≤ x,$ то
  $y = x +7 +x − a= 2x+ 7− a.$
Построим эскиз графика этой функции:

$0xy−ayyy 7===−272x+x+−a77−+ a a$

Таким образом,
- если $y < a+ 7,$ то у уравнения $y = |x+ 7|+|x− a|$ нет решений.
- если $y = a +7,$ то у уравнения $y = |x + 7|+ |x− a|$ бесконечно много решений при $a⁄= −7$ и ровно одно решение при $a= − 7.$
- если $y > a +7,$ то у уравнения $y = |x+ 7|+ |x− a|$ ровно два решения.
Рассмотрим случай $a< − 7.$ Тогда у выражения $|x +7|+ |x − a|$ есть три возможных случая раскрытия модулей:

$xa−−−−+++ 7$
- Если $x ≤a,$ то
  $y = −x − 7 − x + a= −2x − 7 +a.$
- Если $a< x < −7,$ то
  $y = −x − 7 +x − a= −7 − a.$
- Если $− 7 ≤x,$ то
  $y = x +7 +x − a= 2x+ 7− a.$
Построим эскиз графика этой функции:

$0xy−ayyy 7===−2−2x7x+−−7 a7−+ a a$

Таким образом,
- если $y < −a− 7,$ то у уравнения $y = |x +7|+ |x − a|$ нет решений.
- если $y = −a − 7,$ то у уравнения $y = |x+ 7|+|x− a|$ бесконечно много решений.
- если $y > − a− 7,$ то у уравнения $y = |x +7|+ |x − a|$ ровно два решения.

Ответ:

Если $a≥ −7,$ то при $y ≥ a+ 7$

Если $a < −7,$ то при $y ≥− 7− a$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#126973

При каких значениях $a$ уравнение

√ - a= sinx + 3cosx

имеет ровно два решения на отрезке $[ ] − π; 7π ? 3 6$

Показать ответ и решение

Преобразуем правую часть, используя вспомогательный аргумент:

( 1 √3 ) a= 2 2 sinx +-2-cosx ( ) a= 2 cos π-sinx +sin π-cosx 3 ( 3) a = 2sin π+ x ( 3 ) a =sin π-+ x 2 3

Сделаем линейную замену $t= π-+ x. 3$ Тогда необходимо, чтобы новое уравнение $a 2 = sint$ имело ровно два решения на отрезке $[ 3π] 0;-2 .$

Изобразим тригонометрическую окружность и отметим на ней нужный промежуток:

$a03π 22$

Видим, что у полученного уравнения будет ровно два решения на промежутке $[ 3π ] 0;-2$ при

0 ≤ a< 1 2 0 ≤ a< 2

Ответ:

$a ∈[0;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#126974

При каких значениях $a$ уравнение

2|cos2x−0,5| a= 2

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Оценим $| | 2|cos2x − 0,5|.$ Заметим, что

|| 2 || || 2 || 2 cosx − 0,5 = 2cos x− 1 = |cos2x|.

Таким образом,

0≤ |cos2x|≤ 1.

Значит,

|cos2x| 1≤ 2 ≤ 2.

При этом выражение $2|cos2x|$ принимает любое значение от 1 до 2.

Тогда исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при $a ∈[1;2].$

Ответ:

$a ∈[1;2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#126975

При каких значениях $a$ уравнение

1 a = x+ x

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Запишем ограничение $x⁄= 0$ и домножим уравнение на знаменатель:

ax= x2+ 1 2 x − ax+ 1= 0

Чтобы квадратное уравнение имело решения, необходимо потребовать $D ≥ 0:$

2 a − 4≥ 0 (a− 2)(a +2)≥ 0 a∈ (−∞; −2]∪[2;+∞ )

При этом $x =0$ не может быть корнем уравнения ни при каком значении параметра $a,$ так как $2 0 − a⋅0+ 1 ⁄=0.$

Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при

a∈ (−∞; −2]∪[2;+∞ )

Ответ:

$a ∈(−∞; −2]∪ [2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#126976

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

a2 y = x + x

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Запишем ограничение $x⁄= 0$ и домножим уравнение на знаменатель:

yx= x2+ a2 2 2 x − yx+ a = 0 (∗)

1.: Рассмотрим сперва случай $a= 0.$ Получаем уравнение: $x2− yx = 0 x(x− y)= 0$
Так как $x = 0$ не является корнем уравнения, то при $y ⁄=0$ имеем один корень $x= y.$
2.: Теперь рассмотрим случай $a⁄= 0.$ Заметим, что $x = 0$ не может быть корнем уравнения $(∗)$ ни при каком значении $y,$ так как $2 2 0 − y ⋅0+ a ⁄= 0.$
Тогда чтобы исходное уравнение имело решения, достаточно, чтобы уравнение $(∗)$ имело решения, то есть достаточно потребовать $D ≥ 0:$
$y2− 4a2 ≥ 0 (y− 2a)(y +2a)≥ 0 y ∈ (−∞; −2|a|]∪[2|a|;+ ∞ )$

Ответ:

Если $a= 0,$ то при $y ⁄= 0$

Если $a ⁄= 0,$ то при $y ∈ (− ∞;− 2|a|]∪ [2|a|;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#126977

При каких значениях $a$ уравнение

( 1)2 a= x− x

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Раскроем скобки в правой части:

2 -1 a= x + x2 − 2

Найдем производную функции $2 1 a(x)= x + x2 − 2$ и приравняем ее к нулю:

a′(x) =2x − 2-= 0 x3 2x4−-2 x3 = 0 2(x− 1)(x +1)(x2+ 1) ---------x3--------= 0

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$−01−+−+1$

Видим, что $x= −1$ и $x= 1$ — это точки локального минимума, а в точке $x = 0$ функция не определена.

Заметим, что

2 1- a(− 1) =a(1)= 1 + 12 − 2 =0.

Также заметим, что при приближении $x$ к 0 значение $a(x)$ неограниченно растет. Тогда эскиз графика функции $a(x)$ выглядит следующим образом:

$xa0−11$

Тогда из эскиза понятно, что исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при $a≥ 0.$

Ответ:

$a ∈[0;+ ∞ )$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#126978

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

( a)2 y = x− x

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Раскроем скобки в правой части:

2 a2 y = x + x2 − 2a

Найдем производную функции $2 y(x)= x2+ -a2 − 2a x$ и приравняем ее к нулю:

′ 2a2 y(x)= 2x− -x3 = 0 4 2 2x-−32a-= 0 ( x)( ) 2-x2−-a--x2+-a-= 0 x3

Если $a = 0,$ то получаем $y(x)= x2 > 0.$ Значит, при $y > 0$ есть хотя бы одно решение.
Если $a> 0,$ то $2 x + a> 0$ и можно поделить уравнение на это выражение:
$2 x-−3a = 0 √ -x √- (x-−--a)(x-+--a)= 0 x3$
Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$x−0√−+−+√aa-$

Видим, что $x = −√a$ и $x= √a-$ — это точки локального минимума, в точке $x= 0$ функция не определена.
Найдем значения функции в точках $x= ±√a :$
$y(−√a )= y(√a-)= (√a)2+ --a2--− 2a= a +a − 2a = 0. (√a)2$
Также заметим, что при приближении $x$ к 0 значение $y(x)$ неограниченно растет. Тогда эскиз графика функции $y(x)$ выглядит следующим образом:

$√√ - xy0−a a$

Тогда из эскиза понятно, что при $a > 0$ исходное уравнение имеет решения при $y ≥0.$
Если $a <0,$ то $x2− a> 0$ и можно поделить уравнение на это выражение:
$2 x-+-a = 0 ( √---x)3( √--) -x−--−-a--x+--−a-- x3 = 0$
Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$x−0√−+−+√−-−aa-$

Видим, что $√ --- x = − −a$ и $√--- x = −a$ — это точки локального минимума, в точке $x= 0$ функция не определена.
Найдем значения функции в точках $√ --- x= ± −a :$
$√--- √ --- (√---)2 a2 y(− − a) = y( −a)= − a + (√-−a)2 − 2a= − a− a− 2a= −4a.$
Также заметим, что при приближении $x$ к 0 значение $y(x)$ неограниченно растет. Тогда эскиз графика функции $y(x)$ выглядит следующим образом:

$xy0−√√−-−aa-$

Тогда из эскиза понятно, что при $a < 0$ исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при $y ≥ −4a.$

Ответ:

Если $a= 0,$ то при $y ∈ (0;+ ∞ )$

Если $a > 0,$ то при $y ∈ [0;+∞ )$

Если $a < 0,$ то при $y ∈ [− 4a;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#126979

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

4 2 y = x − 2x + a

имеет ровно три решения?

Показать ответ и решение

Найдем производную функции $y(x)= x4− 2x2+a$ и приравняем ее к нулю:

y′(x)= 4x3− 4x= 0 2 4x(x − 1)= 0 4x(x− 1)(x +1)= 0

Нули производной разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$−01−+−+1$

Видим, что $x= −1$ и $x= 1$ — это точки локального минимума, а $x= 0$ — точка локального максимума.

Заметим, что

4 2 y(−1)= y(1)= 1 − 2⋅1 + a= a− 1 y(0)= 04− 2⋅02+a = a.

Так как $a> a − 1,$ то эскиз графика функции $y(x)$ выглядит следующим образом:

$xy0−1aa1− 1$

Тогда из эскиза понятно, что исходное уравнение имеет ровно три решения при $y = a.$

Ответ:

Если $a∈ (−∞;+ ∞ ),$ то при $y = a$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#126980

При каких значениях $a$ уравнение

4 2 a= x − 2x + 2

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Выделим в правой части полный квадрат:

a =x4 − 2x2+ 1 +1 (2 )2 a = x − 1 + 1 (x2− 1)2 = a− 1

При $a− 1< 0,$ то есть при $a< 1,$ уравнение не имеет решений.
При $a= 1$ получаем:
$(x2− 1)2 = 0 2 2 x − 1= 0 x = 1 ⇔ x= ±1$
То есть $a = 1$ нам подходит.
При $a> 1$ получаем:
$( )2 x2− 1 = a− 1 [x2− 1= √a-− 1 x2− 1= −√a-−-1 [ x2 = 1+ √a-− 1 x2 = 1− √a-− 1$
Так как $1+ √a-− 1 > 0,$ то первое уравнение совокупности гарантированно имеет решения при $a> 1.$ Таким образом, случай $a> 1$ нам также подходит.
Тогда исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при $a≥ 1.$

Ответ:

$a ∈[1;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#126981

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a > 0$

3 y =x − 3ax

имеет ровно три решения?

Показать ответ и решение

Найдем производную функции $y(x)= x3− 3ax$ и приравняем ее к нулю:

y′(x)= 3x2− 3a= 0 ( 2 ) ( 3√x)−( a =√ 0) 3 x− a x+ a = 0

$−√+−+a√a$

Видим, что $√ - x= − a$ — это точка локального максимума, а $√- x = a$ — точка локального минимума.

Найдем значения функции в точках экстремума:

√- √ - √- √ - y(− a)= −a a+ 3a a =2a a> 0 y(√a)= a√a − 3a√a= − 2a√a-< 0

Тогда эскиз графика функции $y(x)$ выглядит следующим образом:

$xy0−√2−√aa2a√aa√a$

Тогда из эскиза понятно, что исходное уравнение имеет ровно три решения при $√ - √ - y ∈(−2a a;2a a).$

Ответ:

Если $a∈ (0;+ ∞),$ то при $y ∈(−2a√a;2a√a-)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#126982

При каких значениях $a$ уравнение

∘ -2--- a= x + 1− x

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Найдём производную функции $√----- a(x)= x2+ 1− x :$

2x x− √x2-+-1 a′(x)= 2√x2-+1-− 1= --√x2+-1--

Покажем, что при любом $x$ выражение $√----- x− x2+ 1$ отрицательно.

Если $x = 0,$ то значение выражения равно $− 1< 0.$

Если $x < 0,$ то оба слагаемых отрицательны и сумма отрицательна.

Если $x > 0,$ то имеем:

∘ ----- x < x2+1 ⇒ x2 < x2+ 1 ⇔ 0< 1

Тогда при любом $x$ имеем:

√ ----- ′ x−---x2+1- a(x)= √x2-+-1 < 0

Значит, функция $a(x)$ строго убывает. При этом $√ -2--- a(0) = 0 + 1− 0= 1.$

Нарисуем эскиз графика функции:

$xa10$

Тогда из эскиза понятно, что исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при $a> 0.$

Ответ:

$a ∈(0;+∞ )$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#126983

При каких значениях $a$ уравнение

∘ -2--- ∘------2--- a= x + 1+ (x − 4) + 1

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= x− 2,$ тогда исходная функция примет вид:

∘ -----2--- ∘ -----2--- a(t)= (t+2) + 1+ (t− 2) + 1

Найдем производную данной функции:

′ 2(t+ 2) 2(t− 2) (t+ 2) (t− 2) a(t) = --∘------2---+ --∘------2--- = ∘-----2----+ ∘------2--- 2⋅ (t+ 2) + 1 2⋅ (t− 2) + 1 (t+ 2) +1 (t− 2) + 1

Покажем, что это выражение представляет из себя сумму двух возрастающих функций. Для этого необходимо показать, что $x y(x)= √x2-+-1$ — возрастающая функция.

Найдем производную функции $y(x):$

1⋅√x2-+1 − x ⋅-√-2x--- 2 2 y′(x)= -------------2-x2+-1-= x∘-+-1−-x- = ∘---1----> 0 x2+ 1 (x2+ 1)3 (x2+ 1)3

Тогда $a′(t)$ — сумма строго монотонно возрастающих функций, то есть является строго монотонно возрастающей функцией. Заметим, что $t= 0$ обнуляет производную $a′(t),$ и расставим ее знаки на вещественной прямой: