Тема 18. Задачи с параметром

18.08 Разные методы. Исследование замены

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126978

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

( a)2 y = x− x

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Раскроем скобки в правой части:

2 a2 y = x + x2 − 2a

Найдем производную функции $2 y(x)= x2+ -a2 − 2a x$ и приравняем ее к нулю:

′ 2a2 y(x)= 2x− -x3 = 0 4 2 2x-−32a-= 0 ( x)( ) 2-x2−-a--x2+-a-= 0 x3

Если $a = 0,$ то получаем $y(x)= x2 > 0.$ Значит, при $y > 0$ есть хотя бы одно решение.
Если $a> 0,$ то $2 x + a> 0$ и можно поделить уравнение на это выражение:
$2 x-−3a = 0 √ -x √- (x-−--a)(x-+--a)= 0 x3$
Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$x−0√−+−+√aa-$

Видим, что $x = −√a$ и $x= √a-$ — это точки локального минимума, в точке $x= 0$ функция не определена.
Найдем значения функции в точках $x= ±√a :$
$y(−√a )= y(√a-)= (√a)2+ --a2--− 2a= a +a − 2a = 0. (√a)2$
Также заметим, что при приближении $x$ к 0 значение $y(x)$ неограниченно растет. Тогда эскиз графика функции $y(x)$ выглядит следующим образом:

$√√ - xy0−a a$

Тогда из эскиза понятно, что при $a > 0$ исходное уравнение имеет решения при $y ≥0.$
Если $a <0,$ то $x2− a> 0$ и можно поделить уравнение на это выражение:
$2 x-+-a = 0 ( √---x)3( √--) -x−--−-a--x+--−a-- x3 = 0$
Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$x−0√−+−+√−-−aa-$

Видим, что $√ --- x = − −a$ и $√--- x = −a$ — это точки локального минимума, в точке $x= 0$ функция не определена.
Найдем значения функции в точках $√ --- x= ± −a :$
$√--- √ --- (√---)2 a2 y(− − a) = y( −a)= − a + (√-−a)2 − 2a= − a− a− 2a= −4a.$
Также заметим, что при приближении $x$ к 0 значение $y(x)$ неограниченно растет. Тогда эскиз графика функции $y(x)$ выглядит следующим образом:

$xy0−√√−-−aa-$

Тогда из эскиза понятно, что при $a < 0$ исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при $y ≥ −4a.$

Ответ:

Если $a= 0,$ то при $y ∈ (0;+ ∞ )$

Если $a > 0,$ то при $y ∈ [0;+∞ )$

Если $a < 0,$ то при $y ∈ [− 4a;+ ∞)$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse