18.08 Разные методы. Исследование замены

Сделаем замену тогда исходная функция примет вид:

Найдем производную данной функции:

Покажем, что это выражение представляет из себя сумму двух возрастающих функций. Для этого необходимо показать, что — возрастающая функция.

Найдем производную функции

Тогда — сумма строго монотонно возрастающих функций, то есть является строго монотонно возрастающей функцией. Заметим, что обнуляет производную и расставим ее знаки на вещественной прямой:

Заметим, что

Построим эскиз графика функции учитывая, что — локальный минимум:

Тогда из эскиза понятно, что исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при