Тема 18. Задачи с параметром

18.08 Разные методы. Исследование замены

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126994

При каких значениях $y$ уравнение с параметром $a$

∘ -2---2 ∘ -2---2 y = x + a − x − a

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Рассмотрим случай, если $√------ √------ x2+ a2+ x2 − a2 =0.$
Тогда имеем:
${ { x2 +a2 = 0 ⇒ x =0 x2 − a2 = 0 a= 0$
Если $a =0,$ то $√ -- √ -- y = x2− x2 = |x|− |x|= 0.$ Отсюда только в случае $y = 0$ имеем хотя бы одно решение.
Рассмотрим случай, если $√------ √------ x2+ a2+ x2 − a2 ⁄=0.$
Тогда преобразуем исходное уравнение:

$∘ ------ ∘ ------ y = x2+ a2− x2− a2 = (√x2+-a2− √x2-− a2)(√x2-+-a2-+√x2-−-a2) = ----------√-2---2--√--2---2----------= x +a + x + a = (√x2+-a2)−-(x√2−-a2)= √-----2a2√------- x2+ a2+ x2− a2 x2+ a2+ x2− a2$

Заметим, что функция стремится к нулю на бесконечности. Найдем ОДЗ исходного уравнения:

${ 2 2 x2+ a2≥ 0 ⇒ (x− a)(x+ a)≥ 0 x − a ≥ 0$
- Рассмотрим случай $a> 0.$
  Тогда ОДЗ уравнения примет вид: $x ∈(−∞; −a]∪ [a;+∞ ).$ Тогда для исходного уравнения с учетом ограничений получим:
  - если $x> a > 0,$ то знаменатель возрастает и дробь убывает;
  - если $x< − a< 0,$ то знаменатель убывает и дробь возрастает.
  Найдем значения функции в точках $x= a$ и $x = −a:$
  
  $∘ ------ ∘------ √ - y(a)= y(−a)= a2+ a2− a2 − a2 =a 2$
  
  Нарисуем эскиз графика функции:
  
  $√- xy0−aa a2$
  
  Тогда из эскиза видно, что исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при $( √-] y ∈ 0;a 2 .$
- Рассмотрим случай $a< 0.$
  Тогда ОДЗ уравнения примет вид: $x ∈ (− ∞;a]∪ [−a;+∞ ).$ Тогда для исходного уравнения с учетом ограничений получим:
  - если $x> − a> 0,$ то знаменатель возрастает и дробь убывает;
  - если $x< a < 0,$ то знаменатель убывает и дробь возрастает.
  Найдем значения функции в точках $x= a$ и $x = −a:$
  
  $∘ ------ ∘ ------ √ - y(a)= y(− a) = a2+ a2− a2− a2 = −a 2$
  
  Нарисуем эскиз графика функции:
  
  $√ - xy0a−− aa 2$
  
  Тогда из эскиза видно, что исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при $( √ -] y ∈ 0;−a 2 .$

Ответ:

Если $a= 0,$ то при $y ∈ {0}$

Если $a > 0,$ то при $( √ -] y ∈ 0;a 2$

Если $a < 0,$ то при $( √-] y ∈ 0;− a 2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse