Тема 18. Задачи с параметром

18.08 Разные методы. Исследование замены

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#127011Максимум баллов за задание: 2

При каких значениях $a$ уравнение

a= |cosx|

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

При любом $x$ имеем:

− 1≤ cosx≤ 1 ⇒ 0≤ |cosx|≤ 1.

Значит, при $0 ≤a ≤ 1$ исходное уравнение имеет хотя бы одно решение.

Ответ:

$a ∈[0;1]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#127012Максимум баллов за задание: 2

При каких значениях $a$ уравнение

a= sin x

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

При любом $x$ имеем:

− 1≤ sinx ≤ 1.

Значит, при $− 1 ≤a ≤ 1$ исходное уравнение имеет хотя бы одно решение.

Ответ:

$a ∈[−1;1]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#127013Максимум баллов за задание: 2

При каких значениях $a$ уравнение

x2−2x a= 2

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Выделим полный квадрат в показателе степени:

2 2 2 x − 2x = x − 2x +1 − 1= (x − 1) − 1

С учетом неотрицательности квадрата и по свойствам степени с основанием, большим 1, получаем

x2−2x (x−1)2−1 −1 1 a= 2 = 2 ≥ 2 = 2.

Значит, с учетом неограниченности квадратичной функции при $1 a≥ 2$ исходное уравнение имеет хотя бы одно решение.

Ответ:

$[ ) a ∈ 1 ;+ ∞ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#126998Максимум баллов за задание: 2

При каких значениях параметра $a$ уравнение

a= log5(x+ 3)− log5(x− 3)

имеет хотя бы одно решение?

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ уравнения:

{ x+ 3 >0 ⇒ x> 3 x− 3 >0

Преобразуем исходное выражение следующим образом:

( ) a = log5 x-+-3 x − 3 ( --6-) a= log5 1+ x− 3

Рассмотрим функцию $6 t(x)= 1+ x−-3.$ Тогда с учетом $x > 3$ получаем ограничение $t> 1.$ Это часть гиперболы с вертикальной асимптотой $x = 3$ и горизонтальной асимптотой $t =1.$ Изобразим ее в осях $xOt:$

$xt031$

Видим, что $t$ может принимать любые значения $t> 1.$ Тогда функция $a(t)$ принимает любые значения $a =log5t> log51 =0.$

Таким образом, у исходного уравнения будет хотя бы одно решение при $a > 0.$

Ответ:

$a ∈(0;+∞ )$