Закл 2024

Пусть в процессе было ходов.

Рассмотрим -й ход. Обозначим через количество клубней у мальчика, делавшего этот ход, сразу после хода. Тогда у другого мальчика после хода клубней. Также обозначим через

количество клубней у (любого) мальчика перед первым ходом.

В этих обозначениях, перед -м ходом у мальчика, делавшего его, было клубней, а после него — клубней. Значит, на этом ходу он передавал клубней. Если то это количество должно быть больше, чем количество клубней у этого мальчика перед его предыдущим (-м) ходом, то есть не меньше, чем Итак,

Поскольку все числа целые, получаем, что

при всех

Теперь можно получить оценки на числа действуя «с конца». Определим числа условиями

Докажем, что и индукцией по При неравенства очевидны; для перехода, чтобы доказать неравенство при некотором достаточно заметить, что

Итак, мы получаем, что Приведём таблицу первых значений чисел

Значит, из условия получаем, что

Пример, когда дети могут сделать ходов, следует из построения выше. Изначально у каждого ребёнка по клубней. Пусть дети действуют так, чтобы после -го (с начала) хода у перекладывавшего оставалось ровно клубней; тогда на -м (с начала) ходе ребёнок перекладывает

клубней, а перед любым предыдущим его ходом у него будет клубней при причём

Значит, этот ход удовлетворяет условию, и дети могут сделать 19 таких ходов.