Закл 2023

Первое решение. Пронумеруем позиции в строке слева направо числами от 1 до 250. Пусть в исходной строке букв A стоят на нечётных местах (т. е. местах с нечётными номерами). Покажем, что в полученных строках это количество не изменится.

Действительно, пусть для некоторой операции выбран кусок, в котором по букв A и B, причём из этих букв A стоят на нечётных местах. Тогда на чётных местах в куске стоят букв A и, следовательно, букв B. После операции именно из этих букв B возникнут буквы A, стоящие на нечётных местах куска — значит, количество таких букв A не поменяется.

Итак, в любой полученной строке будет ровно букв A на нечётных местах. Однако, если строка развернётся задом наперёд, то на нечётных местах должны оказаться ровно те буквы, которые раньше были на чётных местах, а там было ровно букв A. Поскольку требуемое невозможно.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. В строке всего пар, состоящих из буквы A и буквы B. Назовём такую пару левой, если в ней A стоит левее B, и правой иначе. Покажем, что при операции количество левых пар не изменяется. Из этого будет следовать невозможность требуемого, ибо при развороте строки все пары меняют тип, а значит, количество левых пар меняет чётность.

Рассмотрим одну операцию с куском длины При этой операции пары из букв, не лежащих в куске, сохраняют свой тип. Далее, для каждой буквы вне куска было ровно пар, содержащих её и букву из куска; столько же таких пар осталось, и все эти пары были и стали одного и того же типа.

Значит, осталось проследить за парами букв в самом куске. Но каждая пара сменила свой тип дважды: когда кусок развернулся и когда все буквы заменили на другие. Значит, количество левых пар в куске также не изменилось.