Закл 2022

Пусть точки и симметричны относительно точкам и соответственно. Тогда окружность вписана в треугольник и касается в точке Медиана является средней линией в треугольниках и так что Поскольку — середина утверждение задачи равносильно тому, что прямая содержит среднюю линию треугольника (параллельную ), то есть утверждение равносильно параллельности

Пусть касается и в точках и соответственно, а касается отрезков и в точках и соответственно. Заметим, что

Аналогично, если вписанная окружность треугольника касается в точке то

Однако

так что и потому

Из доказанного следует, что вневписанные окружности треугольников и также касаются отрезка в одной и той же точке симметричной относительно (поскольку ). Гомотетия с центром переводящая прямую в прямую переводит вневписанную окружность треугольника в окружность то есть точку — в Значит, лежит на прямой но, поскольку имеем то есть что и требовалось.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание 1. После первого абзаца решение также можно завершить применением теоремы Брианшона к описанному (около ) шестиугольнику Теорема утверждает, что три главных диагонали этого шестиугольника пересекаются в одной точке или попарно параллельны; в нашей задаче реализуется второй случай, то есть

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание 2. Из утверждения задачи следует, что центр вписанной окружности треугольника лежит на Существуют способы решить задачу, доказав этот факт.