Закл до 2015
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В ячейки куба 
поставлены по одному числа 
Из одного углового кубика в противоположный угловой
отправляются два червяка. Каждый из них может проползать в соседний по грани кубик, при этом первый может проползать, если число в
соседнем кубике отличается на 
второй — если отличается на 
Существует ли такая расстановка чисел, что оба червяка смогут
добраться до противоположного углового кубика?
Подсказка 1
Для начала поймите, сколько ходов точно потребуется червякам, чтоб дойти до конечной клетки.
Подсказка 2
Чтоб дойти до конечной клетки надо сделать хотя бы 30 ходов. Пусть в начальной клетке стоит число a, а в конечной b. Можно считать, что a < b. Клетки с какими номерами тогда точно должны пройти эти червячки?
Подсказка 3
Правильно! Первый червячок должен идти по клеткам с номерами a + 8k, а второй по клеткам с номерами a + 9k. Теперь стоит подумать, есть ли у путей первого и второго червяки общие клетки.
Подсказка 4
На самом деле есть. Например клетка с номером a + 72. Если покрасить в шахматную раскраску клетки, то какого цвета будет клетка для каждого из червяков (если начальная клетка черная)?
Предположим, что существует такая расстановка чисел, что оба червяка доберутся до противоположного углового кубика. Пусть числа,
стоящие в начальном и конечном угловых кубиках равны 
и 
соответственно. Можно считать, что 
Заметим, что числа 
и 
отличаются по крайней мере на 
так как второй червяк сделал хотя бы 
ходов (как минимум по 
в
каждом из трех направлений). Также можно считать, что каждый червяк не заползает в каждый кубик больше одного
раза (иначе путь от этого кубика до него же можно опустить). Тогда первый червяк должен последовательно проползти
через кубики с числами 
Второй должен последовательно проползти через кубики с
числами 
Рассмотрим теперь шахматную раскраску нашего куба. Можно считать, что
кубик с числом 
покрашен в черный цвет. Заметим, что соседние по грани кубики должны иметь разные цвета. Это
означает, что кубики с числами 
должны быть покрашены в черный цвет (следует из пути 
-ого
червы), а кубики 
должны быть покрашены в белый цвет (следует из пути 
-ого червя). То
есть кубик с числом 
должен быть покрашен и в черный, и в белый цвета. Полученное противоречие завершает
доказательство.
Не существует
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
