Закл 2023

Подсказка 1:

Попробуйте придумать какой-нибудь пример. Чтобы легче придумывалось, попробуйте подобрать n так, чтобы произведение чисел от n до n + 20, делённое на n², равнялось некоторой цешке. Она целая.

Подсказка 2:

Попробуйте n = 20!. Чтобы показать, что при больших n это невозможно, предположите обратное. Пусть существует такое n и произведение делится на некоторое k². Рассмотрите частное произведения и k. Оно должно делиться на k. А с чем оно сравнимо по этому модулю?

Подсказка 3:

Пусть P = n(n + 1)...(n + 20), k = n + i, где i от 0 до 20. Тогда P / k = (k – i)(k – i + 1)...(k – 1)(k + 1)(k + 2)...(k + j), где j = 20 – i. Нетрудно видеть, что P / k сравнимо с (–1)ⁱi!j! по модулю k. Может ли (–1)ⁱi!j! делиться на k?

Подсказка 4:

Покажите, что число i!j! больше 0 и меньше 20!. Используйте для этого равенство j = 20 – i.