Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела закл (финал) 11 класс
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#106962

Докажите, что при k> 10  в произведении

                          k
f(x)= cos(x)cos(2x)cos(3x)...cos(2 x)

можно заменить один cos  на sin  так, что получится функция f1(x),  удовлетворяющая при всех действительных x  неравенству |f1(x)|≤ -3--.
       2k+1

Источники: Всеросс., 2007, ЗЭ, 11.1(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Заметим, что

        |        3 |  |     2 |
|sin3x|= |3sinx − 4sin x|= |3− 4sinx||sinx|≤ 3|sinx|

Поэтому для функции f,
 1  полученной из f  заменой cos3x  на sin 3x,  выполняется неравенство

                                   ||   k||
|f1(x)|≤ 3|sin x||cosx||cos2x||cos4x||cos8x|...|cos2x|

(Мы опустили все множители |cosnx|,  в которых n> 3  и не является степенью двойки; каждый из этих множителей не превосходит 1.)  Утверждение задачи теперь следует из тождества

sinxcosxcos2xcos4xcos8x...cos2kx= 2−k−1sin2k+1x

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!