Закл до 2015
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все натуральные 
такие, что произведение первых 
нечетных простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью
натурального числа (большей, чем первая).
Источники:
Подсказка 1
Пусть произведение нечётных простых чисел равно aⁿ + 1. Хотелось бы посмотреть на нечётные делители a. Но существуют ли они?
Подсказка 2
Если показатель степени не простой, можно ли его сделать простым?
Подсказка 3
Можно обратить внимание, что у нас есть нечётные простые из произведения, а также простое n. Давайте рассмотрим простой нечётный делитель числа a. Может их стоит сравнить между собой?
Подсказка 4
В произведении есть все простые вплоть до некого pₖ. Если n меньше pₖ, то оно входит в произведение простых. Что тогда можно сказать о aⁿ при рассмотрении по модулю n?
Подсказка 5
Тогда с одной стороны aⁿ + 1 делится на n, но по малой теореме Ферма и aⁿ − a тоже делится на n. Не противоречат ли эти две делимости друг другу?
Пусть 
и 
— первые 
нечётных простых чисел. Предположим, что 
Без ограничения общности можно считать, что 
– простое число, ведь если 
то можно заменить 
на 
а 
— на 
Заметим, что 
поскольку 
не делится на 
при любом 
Пусть у 
есть нечетный простой делитель 
Тогда 
иначе левая часть 
делилась бы на 
что не так. Поэтому и
Покажем, что 
Действительно, в противном случае 
где 
Тогда 
кратно 
с другой стороны, по
малой теореме Ферма 
кратно 
Так как
причём 
кратно 
и
то 
делится на 
что противоречит условию.
Итак, 
и 
откуда
что противоречит 
, значит, 
— степень двойки. Степени двойки имеют остатки 
при делении на 
а 
делится на 
при 
Значит, 
и возможными значениями для 
являются 
и 
Оба варианта не подходят,
следовательно, подходящих 
нет.
Таких 
не существует
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
