Закл до 2015

Пусть игра с теми же правилами происходит на конечном множестве точек которое содержит точку и переходит в себя при повороте на Тогда в этой игре выигрывает первый игрок (ясно, что множество точек из условия удовлетворяет этим условиям).

Доказательство будем вести индукцией по количеству точек в Если то первый выигрывает первым своим ходом. Пусть Теперь под отрезками будем подразумевать отрезки, концы которых лежат в и не симметричны относительно Рассмотрим длины всех отрезков. Пусть — максимальная из них, и пусть — все отрезки длины (некоторые из точек могут совпадать). Заметим, что точка не является концом ни одного из этих отрезков. Действительно, пусть это не так, и среди наших отрезков есть какой-то отрезок Пусть точка получается из поворотом на относительно Тогда то есть длина отрезка не максимальна — противоречие.

Выкинем из все точки Заметим, что полученное множество удовлетворяет всем условиям нашего утверждения (так как множество отрезков переходит в себя при повороте на Значит, по предположению индукции в игре на полученном множестве выигрывает первый. Предъявим теперь выигрышную для него на множестве

Первый будет действовать по стратегии для множества с начала до того момента, когда второй впервые выведет фишку за пределы множества Это случится, ибо согласно стратегии для у первого всегда есть ход, после которого фишка остается в множестве Значит, рано или поздно второй сделает ход из точки лежащей в в точку не лежащую там (пусть тогда Тогда первый может сделать ход в точку (так как а иначе бы не лежала в после чего второму ходить некуда — он должен сделать ход длины, большей а таких ходов нет. Итого, первый выигрывает.