Регион 2023

Обозначим окружности с диаметрами и через и соответственно. Заметим, что точка лежит на отрезке

Пусть прямые и пересекают в точках и соответственно. Поскольку — диаметр имеем В прямоугольном треугольнике отрезок — высота, поэтому

С другой стороны, поскольку имеем

Итак,

то есть точки и лежат на одной окружности

Пусть теперь прямая пересекает окружности и в точках и соответственно (точка лежит на отрезках и ). Тогда

поскольку — центр окружности С другой стороны,

что следует из того, что — высота в прямоугольном треугольнике Значит,

то есть Но точка отлична от и так как не лежит на значит, окружности и имеют три общих точки то есть они совпадают. Поэтому лежит на что и требовалось доказать.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание 1. Решение можно было бы завершить многими разными способами. Например, равенства

означают, что точки и лежат на одной окружности Тогда либо окружности и совпадают, либо это три разных окружности. Во втором случае радикальные оси пар этих трёх окружностей должны пересекаться в одной точке или быть параллельными; но эти радикальные оси — это прямые и и для них эти утверждения неверны.

Рассуждение выше имеет недостаток: оно не проходит, когда точки и лежат на одной прямой. Этот случай легко разобрать отдельно (тогда проходит через центр окружности

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание 2. Существуют и другие решения, идейно схожие с приведённым выше. Например, можно рассуждать так.

Пусть лучи и пересекают повторно в точках и Пусть Тогда

откуда Тогда — высота в прямоугольном треугольнике, и

С другой стороны, если прямая пересекает в точках и то

Однако, как нетрудно проверить, на отрезке есть только две точки такие, что и это точки и Значит, что и требовалось доказать.