Регион 2023
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наибольшее число 
такое, что для любых положительных чисел 
и 
сумма которых равна 1, выполнено
неравенство
Источники:
Подсказка 1:
Попробуйте угадать максимальное m.
Подсказка 2:
Возьмите m = 1. Перед доказательством проделайте некоторые махинации со знаменателями, используя равенство a + b + c = 1.
Подсказка 3:
ab + c = ab + c(a + b + c) = (c + a)(c + b). Проделайте это со знаменателями. Далее сможете доказать вручную с помощью нескольких простых оценок.
Подсказка 4:
Осталось для m > 1 найти пример, при котором неравенство не выполнено. Пусть m = 1 + 2t, где t от 0 до 1 (если доказать это для 1 < m < 3, для других m это будет очевидно). Попробуйте как-нибудь грубо оценить каждое из слагаемых левой части сверху, чтобы из сумма получилась меньше 1 + 2t, то есть m.
Первое решение. Докажем сначала, что 
удовлетворяет требованиям задачи. Заметим, что 
Следовательно,
Значит, осталось доказать неравенство
Возведем это неравенство в квадрат; оно примет вид
После сокращения слева останется сумма корней, а справа — 
Но любой из корней не меньше, чем 
действительно,
например,
Отсюда и следует требуемое.
Осталось доказать, что при любом 
неравенство выполнено не всегда; достаточно это сделать при 
Пусть 
при 
Положим 
и 
Тогда 
однако
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение. Приведём другое доказательство того, что 
подходит. Для этого докажем, что если 
— наибольшее из чисел
то верно даже неравенство
Обозначим 
заметим, что 
поэтому 
Левая часть неравенства выше переписывается
как
Значит, нам достаточно доказать, что
Возводя это неравенство в квадрат, получаем
после сокращения подобных слагаемых получаем, что нам достаточно доказать неравенство
Наконец, это неравенство вытекает из неравенства 
(поскольку 
) и
где мы применили неравенство о средних.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
