Регион 2016
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество 
состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных 
и
(не обязательно различных и не обязательно лежащих в 
при которых 
лежит в 
число 
также лежит в 
Найдите все
полные множества натуральных чисел.
Подсказка 1
Из условия о том, что если a+b содержится в A, то и ab содержится в A можно сделать следующий вывод: если n содержится в A, то и 1*(n-1) содержится в A. Отсюда сразу следует вид возможных множеств, если они конечны.
Подсказка 2
Действительно, у конечного A есть максимальный элемент m, соответственно есть и все числа от 1 до него. Осталось понять, что при достаточно большом m, число 2*(m-2) окажется больше него, а это противоречит максимальности m. Теперь разберёмся с бесконечными множествами, в них для любого числа найдётся больший его элемент A. Может ли какое-то число не присутствовать в A?
Подсказка 3
По ранее доказанному любое натуральное число меньше какого-то элемента A, а значит является элементом A. Таким образом A — множество натуральных чисел.
Пусть в множестве 
есть число 
тогда поскольку 
в множестве 
есть и 
Тогда если 
конечно и в нём имеется максимальный элемент 
то в нём имеются все числа от 
до 
Притом если 
то
что противоречит максимальности элемента 
Нетрудно убедиться, что при 
от 
до 
множества вида {1, 2, …n}
являются решениями.
Если же 
бесконечно, при отсутствии в нём натурального 
в нём по доказанному отсутствуют все числа большие 
что
противоречит бесконечности. Значит 
— множество натуральных чисел.
а также 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
