Тема Регион 9 класс

Регион 2016

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела регион 9 класс

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75902Максимум баллов за задание: 7

Петя выбрал несколько последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел являться степенью двойки?

Источники: Всеросс., 2016, РЭ, 9.3(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем идти от противного. Выберем максимальную степень двойки, которую можно найти среди выписанных натуральных чисел. Могут ли быть выписаны две таких?

Подсказка 2

Верно, не могут! Ведь тогда одна из этих степеней больше максимальной. А что тогда можно сказать о наименьшем общем кратном той группы, в которой эта степень двойки не содержится?

Показать ответ и решение

Рассмотрим степени двойки, на которые делятся выписанные числа; пусть $2k$ — наибольшая из них. Если хотя бы два выписанных числа делятся на $k 2,$ то два соседних таких числа будут различаться на $k 2 .$ Значит, одно из них делится на $k+1 2 ,$ что невозможно в силу выбора $k.$ Следовательно, среди выписанных чисел ровно одно делится на $k 2 .$

Наименьшее общее кратное группы, содержащей это число, будет делиться на $k 2,$ а НОК оставшейся группы — не будет. Значит, сумма этих НОК не делится на $k 2 ;$ с другой стороны, эта сумма больше чем $k 2 .$ Поэтому эта сумма не может быть степенью двойки.

Ответ:

Нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#78111Максимум баллов за задание: 7

Дан равнобедренный треугольник $ABC, AB =BC.$ В окружности $Ω,$ описанной около треугольника $ABC,$ проведен диаметр $CC ′.$ Прямая, проходящая через точку $′ C$ параллельно $BC,$ пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $P$ соответственно. Докажите, что $M$ — середина отрезка $′ C P.$

Источники: Всеросс., 2016, РЭ, 9.2(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

$PIC$

Так как $CC′$ диаметр $Ω,$ имеем $∠C ′AC = 90∘.$ Поскольку $MP ∥BC,$ получаем $∠MP A =∠BCA =∠BAC.$ Значит, треугольник $AMP$ — равнобедренный, и поэтому его высота $MD$ является и медианой. Так как $AD = DP$ и $AC ′∥DM,$ по теореме Фалеса получаем, что $C ′M = MP.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#93204Максимум баллов за задание: 7

Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество $A,$ состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных $a$ и $b$ (не обязательно различных и не обязательно лежащих в $A),$ при которых $a+ b$ лежит в $A,$ число $ab$ также лежит в $A.$ Найдите все полные множества натуральных чисел.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из условия о том, что если a+b содержится в A, то и ab содержится в A можно сделать следующий вывод: если n содержится в A, то и 1*(n-1) содержится в A. Отсюда сразу следует вид возможных множеств, если они конечны.

Подсказка 2

Действительно, у конечного A есть максимальный элемент m, соответственно есть и все числа от 1 до него. Осталось понять, что при достаточно большом m, число 2*(m-2) окажется больше него, а это противоречит максимальности m. Теперь разберёмся с бесконечными множествами, в них для любого числа найдётся больший его элемент A. Может ли какое-то число не присутствовать в A?

Подсказка 3

По ранее доказанному любое натуральное число меньше какого-то элемента A, а значит является элементом A. Таким образом A — множество натуральных чисел.

Показать ответ и решение

Пусть в множестве $A$ есть число $k,$ тогда поскольку $k= 1+ (k − 1),$ в множестве $A$ есть и $1 ⋅(k− 1)=k − 1.$

Тогда если $A$ конечно и в нём имеется максимальный элемент $n,$ то в нём имеются все числа от $1$ до $n.$ Притом если $n≥ 5,$ то $2⋅(n− 2)>n,$ что противоречит максимальности элемента $n.$ Нетрудно убедиться, что при $n$ от $1$ до $4$ множества вида {1, 2, …n} являются решениями.

Если же $A$ бесконечно, при отсутствии в нём натурального $n$ в нём по доказанному отсутствуют все числа большие $n,$ что противоречит бесконечности. Значит $A$ — множество натуральных чисел.

Ответ:

${1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4},$ а также ${1,2,...}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#134547Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL.$ На отрезке $CL$ выбрана точка $M.$ Касательная в точке $B$ к окружности $Ω,$ описанной около треугольника $ABC,$ пересекает луч $CA$ в точке $P.$ Касательные в точках $B$ и $M$ к окружности $Γ ,$ описанной около треугольника $BLM,$ пересекаются в точке $Q.$ Докажите, что прямые $PQ$ и $BL$ параллельны.

Показать доказательство

Так как прямая $PB$ касается описанной окружность треугольника $ABC,$ можно написать следующую цепочку равенств:

∠PBL = ∠PBA + ∠ABL =∠ACB +∠LBC = ∠BLP.

Поэтому треугольник $BP L$ — равнобедренный.

$PIC$

Заметим, что угол $BLP$ равен углу $BMQ$ в силу касания описанной окружности треугольника $BLM$ и прямой $QM.$ Следовательно, равнобедренные треугольники $BP L$ и $QBM$ подобны, а значит, $∠BP M =∠BQM.$ Получаем, что четырёхугольник $BP QM$ вписанный, поэтому углы $PQB$ и $PMQ$ равны, но угол $PMQ$ равен углу $QBL,$ откуда и следует искомая параллельность.