Регион до 2015

Первый способ. Сначала попробуем применить уже известную нам симметричную стратегию для второго игрока. Разобьем все числа на пары: 1 — 1000, 2 — 999, ..., 500 — 501 (то есть пары чисел, которые в сумме дают 1001). Если первый игрок стер число , то второй стирает парное ему число — . То есть после хода второго в каждой паре числа либо оба стерты, либо оба остались. Следовательно, два последних числа будут обязательно из одной пары, то есть их сумма будет ровно , что не делится на 3. Таким образом второй всегда побеждает.

Второй способ. Теперь попробуем порешать эту задачу другим методом. Проанализируем момент, когда какой-то игрок побеждает или проигрывает, то есть последний ход. Так как последний ход четный, то его совершает именно второй игрок. Тогда перед последним ходом второго у нас осталось 3 числа. Какое число нужно выбрать в этот момент второму, чтобы он победил? Ему нужно оставить числа, сумма которых не кратна трем. Обозначим остатки по модулю 3 этих трех чисел за .

Если среди них есть хотя бы два различных (пусть и ), то хотя бы одно из чисел и не кратно трем (если оба кратны трем, то и совпадают с остатком числа ). Значит, у второго точно есть ход, после которого он побеждает.

Значит, второй может проиграть, только если все три остатка равны, причем равны нулю (иначе сумма любых двух чисел не кратна трем, то есть второй обязательно побеждает). Тогда второму нужно не допустить такую ситуацию. Что нужно сделать, чтобы в конце точно не осталось трех нулей? Давайте каждым ходом второго игрока стирать числа, кратные трем (если такие еще есть). Тогда к последнему ходу второго вовсе не останется чисел, кратных трем (так как их сильно меньше половины всех чисел). То есть ситуации с тремя нулями точно не будет, и значит, второй победит.