Регион 2024

Видим, что

удовлетворяет условию. Далее будет доказано, что других ответов нет.

1) Предположим, что

делится на где

это следует из условия, если дополнительно предполагать, что различны.

Заметим, что один из трех сомножителей не может делиться на произведение двух из чисел так как он меньше этого произведения. Действительно, рассмотрим, например, Из раскрытия скобок видим, что

и аналогично

Следовательно, каждый из сомножителей должен делиться ровно на одно из чисел Пусть, для определенности, — наименьшее из чисел Тогда и поэтому может делиться на только в случае и т.е в случае

Далее, и поэтому может делиться на только в случае и т.е в случае

Аналогично, может делиться на только при

2) Пусть какие-то два из трех чисел совпадают, скажем, Тогда

Значит, либо либо Первый случай возможен лишь при иначе

— составное число, что дает противоречие. Значит, в любом случае среди присутствует единица, скажем,

Тогда наши данные простые числа — это и и они должны быть делителями

Если хотя бы одно из чисел больше 1, то и на обязан делиться хотя бы один из сомножителей и А поскольку разность

делится на получаем, что оба числа делятся на Тогда если отлично от то делится на что разобрано в случае

Остается вариант

Рассуждаем как в предыдущем случае и получаем, что хотя бы два из трех чисел обязаны равняться Пусть, например,

Случай уже был ранее. Если то — нечетное простое, значит должно делиться на Отсюда

должно делиться на Но это невозможно, так как

и — простое.