Регион 2023

Предположим противное, и пусть в множестве всех школьников есть различные -элементные подмножества

— множества участников каждой олимпиады такие, что пересечение любых 30 из них непусто, а пересечение всех — пусто.

Пусть среди множеств

нашлись два множества и имеющие общих элементов

Для каждого элемента среди множеств

найдём подмножество не содержащее такое подмножество найдётся, иначе — общий элемент множеств

(Заметим, что среди подмножеств могут быть совпадающие.)

Тогда пересечение не более подмножеств

— пусто. Это противоречит нашему предположению (к данным подмножествам можно добавить еще несколько, чтобы стало 30 подмножеств, при таком добавлении пересечение остается пустым).

Значит, указанных двух множеств и не найдётся. Тогда пересечение любых двух из множеств

содержит в точности элементов. Пусть

так что

Найдём подмножество (пусть, для определённости, это подмножество — ), не содержащее Так как

то обязано содержать все элементы

Этих элементов (все они различны), поэтому

Рассмотрим любое подмножество из подмножеств Предположим, что содержит элемент, лежащий вне -элементного множества

Тогда должно пересекаться с каждым из подмножеств по одному и тому же -элементному подмножеству множества Но

значит, такого -элементного подмножества не существует — противоречие. Отсюда делаем вывод, что все множества являются подмножествами множества Но в множестве количество -элементных подмножеств равно Получаем противоречие, завершающее решение задачи.