Регион 2022

Пример. Покажем сначала, что при требуемое возможно. Отметим на окружности 180 точек, разбивающих её на 180 равных дуг величиной по каждая. Величина любой дуги с концами в двух из отмеченных точек выражается чётным числом градусов, поэтому величина любого вписанного в окружность угла, образованного тремя отмеченными точками, выражается натуральным числом градусов. Следовательно, 180 отмеченных точек удовлетворяют условию задачи.

Теперь докажем оценку это можно сделать несколькими способами.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Первый способ. Осталось доказать, что Любые три отмеченных точки образуют треугольник, поэтому не могут лежать на одной прямой. Считая отмеченные точки расположенными на координатной плоскости, обозначим через любую из них с максимальной ординатой. Среди оставшихся выберем точки и такие, что угол максимален.

Из условия задачи следует, что в треугольнике величины углов и не меньше поэтому величина угла не больше Ввиду выбора точек и остальные отмеченные точки лежат строго внутри угла и каждый луч с началом в точке содержит не больше одной из них. Проведя через каждую отмеченную точку внутри угла луч с началом в точке получим различных луча, делящих на угла. Если то хотя бы один из этих углов имеет величину, меньшую и является углом некоторого треугольника с вершинами в трёх отмеченных точках, что противоречит условию задачи. Следовательно, то есть что и требовалось доказать.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второй способ. Рассмотрим пару отмеченных точек на наибольшем расстоянии друг от друга. Тогда для любой другой отмеченной точки сторона — наибольшая в треугольнике поэтому, в частности, угол острый.

Проведя из точки лучи во все отмеченные точки, получаем, что все эти лучи различны (ибо три отмеченных точки не могут лежать на одной прямой), и каждый составляет с лучом острый угол, выражаемый целым числом градусов. Такой угол (если луч не совпадает с ) может принимать значения от до поэтому количество таких лучей не превосходит Отсюда