Регион 2022
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На стороне 
остроугольного треугольника 
отмечены точки 
и 
так, что 
На дуге 
описанной окружности
треугольника 
не содержащей точку 
нашлись такие точки 
и 
что 
и 
Докажите, что
Источники:
Первое решение. Без ограничения общности будем считать, что точка 
лежит на отрезке 
и 
Пусть 
— центр
окружности 
Пусть точка 
симметрична 
относительно серединного перпендикуляра к отрезку 
(см. первый рисунок). Из
симметрии
Окружность с центром 
и радиусом 
пересекает окружность 
в точках, симметричных относительно прямой 
то
есть точки 
и 
симметричны относительно 
Аналогично, точки 
и 
симметричны относительно прямой
Прямые 
и 
симметричны относительно серединного перпендикуляра к отрезку 
поэтому они образуют равные углы с
прямой 
Поскольку 
и 
то прямые 
и 
образуют равные углы с прямой
Значит, меньшие дуги окружности 
стягиваемые хордами 
и 
равны, а тогда 
что и
требовалось.
Второе решение. Без ограничения общности будем считать, что точка 
лежит на отрезке 
Пусть 
— центр окружности
Заметим, что 
Поскольку
то точки 
и 
лежат по одну сторону от прямой 
(см. второй рисунок). Треугольники 
и 
равны по трем сторонам,
треугольники 
и 
— тоже.
Тогда
(Если луч 
не лежит внутри угла 
то луч 
лежит внутри угла 
а значит и внутри угла 
В этом случае
либо
либо
в обоих случаях получаем противоречие с равенством треугольников 
и 
Аналогично, луч 
лежит внутри угла
)
Поэтому треугольники 
и 
равны по двум сторонам и углу между ними, откуда 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
