Регион 2022

Подсказка 1:

Понятно, что константа здесь взята с неба (так как коэффициенты могут быть любыми числами). Поэтому опираться на 2022 не нужно. Будем доказывать задачу в общем виде, то есть, что P(x) делится на квадрат некоторого целого числа при любом целом x (c ограничением > 1 разберёмся позже).

Подсказка 2:

То есть хотим доказать, что P(x) = Н(х)Q(x)², где Q(x), H(x) ∈ ℤ[x]. Подумаем, какая степень может быть у Q(x)?

Подсказка 3:

В теории, конечно, любая, только вот как доказывать? Доказывать делимость на квадратный трёхчлен уже не самая простая задача, а что говорить про большие степени? Поэтому стоит начать с многочлена Q(x), равного линейной функции, а если не сработает, то придётся страдать...

Подсказка 4:

Хотим доказать, что P(x) делиться на многочлен (x − с)², где с ∈ ℤ. Сейчас Вам предстоит запомнить идею. То, что мы хотим доказать, равносильно тому, что P(x + c) делится на x² (осознайте самостоятельно, чтоб получить удовольствие от задачи). А делимость на x² гораздо более простой в доказательстве факт, чем делимость на другую квадратичную функцию. Как же его доказать?

Подсказка 5:

Введём обозначения для красоты и удобства. Пусть t = x − c, а также R(t) = P(t + c). Хотим доказать, что P(t + с) делится на t², то есть, что R(t) делится на t². Что это значит?

Подсказка 6:

Что у R(t) должны быть нулевыми свободный коэффициент и коэффициент при t. Начнём со свободного. Как изящно получить свободный коэффициент с помощью R(t)?

Подсказка 7:

Подставить 0! R(0) — и есть свободный коэффициент. То есть хотим доказать, что aₙcⁿ + aₙ₋₁cⁿ⁻¹ + ... + a₁c + a₀ = 0, однако по условию мы знаем, что aₙ + aₙ₋₁ + ... + a₁ + a₀ = 0. На какие мысли о "с" это наталкивает?

Подсказка 8:

Разумеется, что нужно взять с = 1, тогда мы сразу докажем, что свободный коэффициент нулевой. Остаётся разобраться с коэффициентом перед t. Его уже простой подстановкой не узнать, придётся считать честно...

Подсказка 9:

Но и это не беда! R(t) = aₙ(t + 1)ⁿ + aₙ₋₁(t + 1)ⁿ⁻¹ + ... + a₁(t+1) + a₀ = 0. Вспомним про бином Ньютона и поймём, что коэффициент при t это naₙ + (n − 1)aₙ₋₁ + ... + a₁. Хотим доказать, что это выражение равно 0. Пока что непонятно, как это делать, но ведь мы ещё никак не воспользовались условием про симметричность коэффициентов...

Подсказка 10:

naₙ + (n − 1)aₙ₋₁ + ... + a₁ = 0 равносильно тому, что aₙ₋₁ + 2aₙ₋₂ ... + (n − 1)a₁ + na₀ (в силу симметрии). Очень уж красиво дополняют друг друга эти выражения, которые численно равны. Причём мы хотим, чтоб они численно были равны 0. Может быть, их тогда стоит сложить?... А изначальное ограничение на 1 разрешится само собой) Дальше мы замолкаем. Успехов!