Регион 2022
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— 100-элементное множество, состоящее из натуральных чисел, не превосходящих 10000. Отметим в пространстве все точки,
каждая из координат которых принадлежит множеству 
К каждой из 1000000 отмеченных точек 
прикрепим шарик с
написанным на нём числом 
На каком наибольшем количестве шариков может быть написано число, равное
2?
Источники:
Подсказка 1:
Для начала нужно выяснить, при каких условиях точке может соответствовать число 2, какими соотношениями должны быть связаны x, y, z.
Подсказка 2:
Как насчёт того, чтобы рассмотреть уравнение x² + y² + z² = 2 • (xy + yz + zx) как квадратное относительно одной из переменных? Какие можно сделать выводы?
Подсказка 3:
Если его решить относительно x, получится √x = ±√y±√z. То есть подходят все такие тройки, для которых одно из чисел √x, √y, √z равно сумме двух других. Теперь можно делать оценку.
Подсказка 4:
Учтите, что в каждой такой тройке третий элемент восстанавливается по двум другим. Не забудьте про пример.
Назовём тройку натуральных чисел 
элементы которой принадлежат 
хорошей, если
Таким образом, нам надо найти наибольшее возможное количество хороших троек.
Выясним, когда тройка хорошая. Перепишем 
как квадратное уравнение относительно 
:
Решая его, получаем:
откуда
Иначе говоря, тройка является хорошей тогда и только тогда, когда одно из чисел 
и 
равно сумме двух
других.
Пусть 
— все элементы множества 
Положим 
Оценим количество хороших троек 
в которых
— наибольшее число, то есть
Заметим, что при любых 
есть не более одной такой тройки, в которой 
и 
(по этим
значениям восстанавливается 
). Поэтому оцениваемое количество не превосходит числа таких пар 
то есть
Аналогично, количество хороших троек, в которых наибольшими являются 
и 
не превосходит 
Поэтому общее количество
хороших троек не больше, чем 
Эта оценка достигается, если положить 
то есть 
действительно, тогда при любых 
найдётся хорошая тройка
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
