Регион 2022

Первое решение. Заметим, что

Здесь мы оценили знаменатель по неравенству о средних:

Сложим полученное неравенство с тремя аналогичными. Теперь нам достаточно доказать, что

Поскольку

это равносильно неравенству

Но из неравенства между средним арифметическим и средним квадратичным мы получаем, что

и, аналогично,

Складывая эти два неравенства, получаем требуемое.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. По неравенству Коши-Буняковского-Шварца в форме Энгеля

Таким образом, достаточно доказать, что

Заметим, что

поэтому достаточно проверить, что

Сделаем замену

Тогда

Неравенство примет вид

После раскрытия и сокращения остаётся доказать, что

Остаётся заметить, что

Первое неравенство получается раскрытием скобок: после сокращения в левой его части остаются лишь неотрицательные слагаемые. Второе получается сложением четырёх неравенств о средних вида