Тема . ДВИ в МГУ - задания по годам

ДВИ 2025

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела дви в мгу - задания по годам
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#132597

Положительные действительные числа a  и b  удовлетворяют равенствам a3 = a+1  и b6 = b+ 3a.

Определите, какое из чисел a  и b  больше другого.

Источники: ДВИ - 2025, вариант 256, задача 2

Показать ответ и решение

Пусть

      3
f(a)= a − a− 1 =0

Посчитаем производную

 ′     2
f(a)= 3a − 1

Точки экстремума функции — это 1√-
 3  и − 1√-.
   3  Рассмотрим промежутки возрастания и убывания:

−1√31√3↗↘↗

Заметим, что

f(0)< 0 и f(1)< 0

По условию, a >0,  следовательно, a> 1,  так как в точке a  функция f  должна обращаться в 0.

Пусть

     6
g(b)= b− b− 3a= 0

Посчитаем производную

g′(b)= 6b5− 1

Точки экстремума функции — это 15√--
 6  и − √15.
    6  Рассмотрим промежутки возрастания и убывания:

−15√615√6↗↘↗

Заметим, что

g(0)< 0 и g(1)< 0

По условию, b> 0,  следовательно, b> 1,  так как в точке b  функция g  должна обращаться в 0.

Нам даны равенства a3 = a+ 1  и b6 = b+3a.  Возведем первое в квадрат:

6   2
a =a + 2a+ 1

Заметим, что

a2+ 2a+1 − 4a= a2− 2a +1 =(a− 1)2 ≥ 0

Так как a> 1,

(a− 1)2 > 0

Следовательно,

a6 =a2+ 2a+ 1> 4a

Получим, что

 6  6
a − b >4a− b− 3a =a − b

 6     6
a − a> b − b

Рассмотрим функцию

h(x)= x6− x

Она возрастает при x> 1,  следовательно, так как a > 1  и b >1,

h(a)> h(b)

a> b
Ответ:

 a >b

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!