Тема ДВИ в МГУ - задания по годам

ДВИ 2025

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви в мгу - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#130308Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее целое число, меньшее числа $√7+ √8.$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 253, задача 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как Вы думаете, какими числами удобно ограничить сумму √7 + √8? Может, надо как-то её увеличить и уменьшить?

Подсказка 2

А если взять суммы √7 + √7 и √8 + √8?

Подсказка 3

Оцените числа 2√7 и 2√8. Для удобства можно занести двойки под корни.

Показать ответ и решение

Заметим, что

√- √ - √ - √- 2 7 < 7+ 8< 2 8

Оценим число $2√7-$ снизу:

2√7-= √28> √25= 5

Оценим число $√ - 2 8$ сверху:

2√8-= √32< √36= 6

Получаем цепочку неравенств:

√- √ - √ - √- 5< 2 7 < 7+ 8< 2 8< 6

Отсюда видим, что наибольшее целое число, меньшее числа $√- √- 7 + 8$ — это 5.

Ответ: 5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#130310Максимум баллов за задание: 7

Дана последовательность $a,a ,a,... 1 2 3$ действительных чисел, удовлетворяющих при каждом натуральном $n≥ 3$ равенству

a2n−1 an = (−1)n ⋅3 ⋅an−1+ an−2

Найдите $2024√a2025,$ если известно, что $a1 = 1$ и $a2 =4.$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 253, задача 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте просто вычислим несколько первых членов последовательности, может быть, нам удастся увидеть закономерность?

Подсказка 2

Есть подозрение, что нечетные члены последовательности, начиная с третьего, всегда равны предыдущему члену, а следующий четный член в 4 раза больше предыдущего нечетного! Убедитесь в правдивости этой гипотезы и определите, чему равен 2025 член последовательности.

Показать ответ и решение

Найдём несколько первых членов последовательности:

3 a22 a3 = (−1) ⋅3 ⋅a2+ a1 =− 12+ 16= 4

2 a4 = (− 1)4⋅3⋅a3+ a3= 12+4 =16 a2

5 a24 a5 = (− 1) ⋅3⋅a4+ a3 = −48+ 64=16

Предположим, что $i$ — некоторое четное натуральное число и $ai = ai+1,$ вычислим $ai+2$ и $ai+3:$

a2 ai+2 = (−1)i+2⋅3⋅ai+1 +-i+1= 3ai+ai = 4ai ai

2 ai+3 = (− 1)i+3⋅3⋅ai+2+ ai+2-= −3⋅4ai+ 16ai =4ai ai+1

Таким образом, наша последовательность имеет вид:

2 2 3 3 i i 1, 4, 4, 4 , 4 , 4 , 4 ,..., 42 , 42 ,...

Тогда 2025-ый член последовательности равен $41012 = 22024,$ соответственно, $2024√a2025 = 2024√22024 =2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#130311Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

∘---(-√-)------------ (x) log22 x 2 − 3log4x6+ 13> log2 2

Источники: ДВИ - 2025, вариант 253, задача 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие преобразования полезно делать в логарифмических неравенствах?

Подсказка 2

Воспользуйтесь свойствами таким образом, чтобы у всех логарифмов основание стало равно 2, а аргумент – х.

Подсказка 3

После преобразований становится очевидна правильная замена! Теперь у нас есть довольно простое неравенство, которое сразу хочется возвести в квадрат. Но будьте осторожны – не забывайте, что неравенство можно возводить в квадрат, только если Вы уверены, что обе его части неотрицательны!

Подсказка 4

С левой частью все понятно – она всегда неотрицательна на ОДЗ, а вот с правой частью нужно рассмотреть два разных случая. После рассмотрения двух случаев объедините полученные решения, вернитесь к исходной переменной и не забудьте учесть ОДЗ!

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| 2( √2) 6 { log2 x − 3log4x + 13≥0 |( x> 0

На ОДЗ верны преобразования:

( ) log22 x√2 − 3log4x6+ 13 =2log22x− 9 log2x+ 13

log (x) =log x− 1 2 2 2

Сделаем замену $t= log x, 2$ тогда неравенство примет вид:

∘ -2-------- 2t− 9t+13 >t− 1

Если $t− 1< 0,$ то неравенство выполнено на ОДЗ, то есть все $t< 1$ нам подходят. Если же $t− 1≥0,$ возведем неравенство в квадрат и получим:

2t2 − 9t+ 13 >t2− 2t+ 1

t2 − 7t+ 12 >0

Учитывая, что мы рассматриваем случай, когда $t− 1≥ 0,$ получаем:

t∈[1;3)∪ (4;+∞ )

Объединяем со случаем $t− 1 <0:$

t∈(−∞;3)∪ (4;+∞ )

Заметим, что неравенство $2t2− 9t+ 13≥ 0$ верно при любом действительном $t,$ так что первое условие из ОДЗ выполнено автоматически. Вернёмся к исходной переменной:

⌊ log x< 3 ⌈ 2 log2 x> 4

⌊ ⌈ x< 8 x> 16

С учётом ОДЗ получаем ответ:

x∈ (0;8)∪(16;+ ∞)

Ответ:

$(0;8)∪ (16;+∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#130312Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

-1--- --12- ---12--- --3- cos2x + sin22x +sin xsin2x = sin2x

Источники: ДВИ - 2025, вариант 253, задача 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу избавляется от двойных углов и от знаменателя (однако помним, что у нас есть ограничение – знаменатель не должен быть равен нулю). Как стоит преобразовать данное уравнение для удобства?

Подсказка 2

Сделайте так, чтобы в уравнении остался только один вид тригонометрической функции.

Подсказка 3

Воспользуйтесь ОТТ, чтобы получить квадратное уравнение относительно косинуса! Теперь просто решаем его и делаем обратную замену.

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

-1--- ----3---- ---6---- --3- cos2x + sin2x cos2x + sin2xcosx = sin2x

Перенесем все в одну сторону и умножим уравнение на $2 2 sin xcosx:$

sin2x+ 3+ 6cosx− 3cos2x =0

2 4+ 6cosx− 4cosx =0

2cos2x− 3cosx− 2 =0

Сделаем замену $t= cosx:$

2t2− 3t− 2 =0

3± 5 1 t1,2 =-4--= −2;2

Так как $t$ не может быть больше 1, то

t= − 1 2

cosx= − 1 2

2π x =± 3 + 2πk, k∈ ℤ

Заметим, что данная серия не зануляет знаменателей в исходном уравнении, так что эта серия и является ответом.

Ответ:

$± 2π +2πk, k ∈ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#130314Максимум баллов за задание: 7

На сторонах $AB,BC,AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $D,$ $E,F$ соответственно. На $BD$ и на $FC$ как на диаметрах построены окружности. Эти окружности касаются отрезка $AE$ в одной и той же точке. Найдите $DF,$ если известно, что $AB :AC =$ $2 :3,$ $BD :F C =$ $1:2$ и что $BC = 12.$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 253, задача 5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, мы видим две окружности и общую к ним касательную. Какую теорему можно записать в этом случае?

Подсказка 2

Воспользуйтесь теоремой о касательной и секущей (степень точки K относительно окружностей).

Подсказка 3

Мы знаем длину стороны BC, а найти нужно сторону DF. Можно ли сделать какой-то вывод про △ADF и △ACB?

Подсказка 4

Докажите подобие треугольников и найдите коэффициент подобия.

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $BD$ и $F C$ — диаметры и $BD :F C = 1:2$ обозначим радиус окружности, построенной на $BD$ за $r,$ а на $FC$ — $2r.$ Пусть окружности касаются $AE$ в точке $K.$ Тогда $AK$ — касательная. По теореме о касательной и секущей

2 AK = AD ⋅AB

AK2 =AF ⋅AC

Приравнивая выражения, получим:

AF-= AB-= 2 AD AC 3

Получаем, что треугольники $AFD$ и $ABC$ подобны.

Положим $AF = 2x,$ тогда $AD = 3x.$ Тогда получим:

AB-= 3x-+2r-= 2 AC 2x +4r 3

2r=5x

Теперь найдем коэффициент подобия

AC-= 12x =4 AD 3x

Тогда

BC- 12 DF = 4 = 4 = 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#130316Максимум баллов за задание: 7

Положительные действительные числа $a ,a ,a,...,a 1 2 3 7$ удовлетворяют неравенствам

ai+ aj ≥ai+j

при всех натуральных $i,j,$ таких что $i+ j ≤ 7.$ Найдите наименьшее возможное значение выражения

a1+ a22-+ a33-+ a44-+ a55-+ a66 + a77 ------------a7------------

Источники: ДВИ - 2025, вариант 253, задача 6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно сразу поделить последнюю дробь числителя на a₇, но что делать потом?

Подсказка 2

Попробуем оценить числитель. Приведите его дроби к одному знаменателю.

Подсказка 3

Как воспользоваться условием для aᵢ + aⱼ?

Подсказка 4

Оценим все aᵢ через a₇. Например, a₁ + a₆ ≥ a₇.

Подсказка 5

Вам также может помочь расширение оценки из условия для трех слагаемых. Выведите его, применив 2 раза исходное.

Подсказка 6

Чтобы подобрать пример, надо думать проще. Сколько у нас слагаемых в числителе?

Подсказка 7

Семь. А если знаменатель будет равен семи?

Показать ответ и решение

Так как $a +a ≥ a , i j i+j$ то верно

ai+aj + ak ≥ ai+j + ak ≥ ai+j+k

Приведём первые шесть слагаемых числителя искомого выражения к общему знаменателю и оценим:

a2 a3 a4 a5 a6 a7 60a1+-30a2+-20a3-+15a4+12a5+-10a6 a7 S = a1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 60 + 7

Воспользуемся оценками:

10a6+ 10a1 ≥ 10a7

12a5+ 12a2 ≥ 12a7

15a4+ 15a3 ≥ 15a7

5a3+ 5a2+5a5 ≥ 5a7

8a2 +5⋅8a1 ≥ 8a7

10- 10a1 ≥ 7 a7

Суммируя, получаем

( 10) 60a1+ 30a2+ 20a3+ 15a4 +12a5+ 10a6 ≥ 10+ 12+15+ 5+ 8+ 7 a7

Тогда для всей суммы $S,$ получаем:

( 10) S ≥ a7 1 + 10-+12+-15+5-+8+-7- = a7 7 60

Значит,

a1+ a22+ a33+ a44+ a55+ a66-+ a77- S a7 ------------a7------------= a7 ≥ a7 =1

Такой случай реализуется, например, при $ak =k$ для $k= 1,2,...,7.$ Условие задачи выполняется

ai+aj = i+ j ≥i+ j = ai+j

Тогда искомое выражение

a2- a3- a4- a5- a6 a7 a1+-2-+-3-+-4-+-5-+-6-+-7- a7

принимает значение

( ) 1 1+ 2+ 3 +...+ 7 = 7 =1 7 1 2 3 7 7

Ответ: 1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#130317Максимум баллов за задание: 7

Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, равен 1. Радиус окружности, вписанной в основание этой пирамиды, равен $1+√5 2 .$ Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды.

Источники: ДВИ - 2025, вариант 253, задача 7

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте сначала разберемся с тем, где находится центр вписанной сферы.

Подсказка 2

Так как пирамида — правильная, центр вписанной сферы будет лежать на высоте. Как нам теперь этим воспользоваться?

Подсказка 3

Попробуйте перейти в некоторую «удобную» плоскость. Нам надо как-то воспользоваться радиусом окружности, вписанной в основание.

Подсказка 4

Пусть M — середина BC. Рассмотрите плоскость ASM.

Подсказка 5

Это равнобедренный треугольник. Посмотрите на окружность, полученную сечением вписанной сферы плоскостью ASM.

Подсказка 6

Попробуйте связать ∠AMS и радиус окружности, вписанной в основание.

Подсказка 7

В этом Вам может помочь радиус вписанной сферы.

Подсказка 8

r ₁ = r₂ ⋅ tg(∠AMS/2), где r ₁ — радиус вписанной сферы, r₂ — радиус окружности, вписанной в основание пирамиды. Подставьте известные значения.

Подсказка 9

Теперь надо понять, как вычислить высоту при помощи этих данных.

Подсказка 10

H = r₂ ⋅ tg(∠AMS).

Подсказка 11

Осталось только найти радиус сферы, описанной около пирамиды. Где будет лежать ее центр?

Подсказка 12

Также на высоте пирамиды! Какая есть формула для нахождения радиуса описанной сферы?

Подсказка 13

Он равен (H² + R²)/2H, где H — высота пирамиды, R — радиус окружности, описанной около основания. Собственно, его и хотим найти.

Подсказка 14

Заметим, что основание пирамиды является правильным треугольником. Тогда как связаны радиусы вписанной и описанной окружностей?

Подсказка 15

Радиус описанной окружности вдвое больше!

Показать ответ и решение

1. Нахождение высоты пирамиды

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и центром основания $O.$ Центр вписанной сферы $I$ лежит на её высоте $SO.$ Пусть $M$ — середина ребра основания $BC.$ Тогда $SM$ — апофема пирамиды. Рассмотрим осевое сечение $△SAM,$ которое является равнобедренным треугольником. В этом сечении круг, являющийся сечением вписанной сферы, вписан в угол $∠SMO.$ Этот угол образован апофемой пирамиды $SM$ и радиусом вписанной в основание окружности $OM.$

$PIC$

Пусть $r=1$ — радиус вписанной сферы, $√ - rосн = 1-+-5 2$ — радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, и $α$ — двугранный угол при ребре основания. Они связаны соотношением

r= r tg(α) осн 2

Подставим известные значения:

1+ √5 (α) 1= --2--tg 2-

Отсюда находим $(α) tg 2-$ :

( ) √ - √- √- tg α- = --1√--= --2√--= -√-2(-5−√ 1)--= 2(-5−-1)= -5−-1 2 1+--5 1+ 5 ( 5+ 1)( 5− 1) 5− 1 2 2

Теперь найдем $tg(α )$ по формуле двойного угла:

(α ) 2tg 2- tg(α)= 1−-tg2(-α) 2

Вычислим $tg2(α) 2$ :

(α) (√5 − 1)2 5− 2√5-+1 6− 2√5 3− √5 tg2 2- = --2-- = ----4----= --4---= --2--

Подставим в формулу для $tg(α)$ :

√5-−-1 √- √- tg(α)= 2⋅--2-√--= ---5−-1√---= √5−-1-=2 1− 3−--5 2−-(3−--5) -5−-1 2 2 2

Высота пирамиды $SO= H$ связана с $r осн$ и углом $α$ через тот же треугольник в сечении:

H = rоснtg(α)

√- H = 1+--5 ⋅2= 1+√5- 2

2. Нахождение радиуса описанной сферы

Центр описанной сферы также лежит на высоте пирамиды. Радиус описанной сферы $R$ для правильной пирамиды можно найти по формуле

H2-+R2осн R= 2H ,

где $R осн$ — радиус окружности, описанной около основания.

Основание пирамиды — правильный треугольник. Для правильного треугольника радиус описанной окружности $Rосн$ вдвое больше радиуса вписанной окружности $rосн$ :

1+ √5 √ - Rосн = 2rосн = 2⋅-2- = 1+ 5

Мы получили, что $√- Rосн =H = 1+ 5$ Это означает, что центр описанной сферы совпадает с центром основания пирамиды. В этом случае радиус описанной сферы равен радиусу окружности, описанной около основания.

R= Rосн =1 +√5

Проверим это, подставив $Rосн =H$ в общую формулу для $R$ :

2 2 2 R= H--+-H-= 2H--= H 2H 2H

Итак, $R = H =1+ √5$

Ответ:

$1+ √5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#130318Максимум баллов за задание: 7

Известно, что $f(x)=√x-+ 15. x$ Найдите наименьшее целое число, превосходящее $f(25). 16$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 252, задача 1

Подсказки к задаче

Подсказка

Давайте попробуем вычислить значение функции в интересующей нас точке. Какое наименьшее целое число будет больше полученного значения?

Показать ответ и решение

Подставим $x= 25: 16$

( 25) ∘ 25- 15 5 48 f 16 = 16 + (25)-= 4 +-5 = 10,85 16

Таким образом, наименьшее целое число, превосходящее $f(2156)$ — это число $11.$

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#130319Максимум баллов за задание: 7

Дана последовательность $a,a ,a,... 1 2 3$ действительных чисел, удовлетворяющих при каждом натуральном $n$ равенству

a1+ a2+ a3+...+an = 2an− 1

Последовательность $b1,b2,b3,...$ определяется соотношениями $b1 = 2$ и $bn+1 = bn +an,$ $n∈ ℕ.$ Найдите $b1+b2+ b3+...+b2025− 22025.$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 252, задача 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте поработаем с последовательностью а, можем ли мы выразить aₙ через аₙ₋₁, не используя в записи другие члены последовательности?

Подсказка 2

aₙ = 2аₙ₋₁, то есть каждый последующий член нашей последовательности в два раза больше предыдущего! А как называется такая последовательность? Определите а₁, чтобы записать формулу для n-ого члена последовательности.

Подсказка 3

Имеем геометрическую прогрессию с первым членом, равным единице, и знаменателем, равным двойке! Теперь давайте поработаем со второй последовательностью: можем ли мы выразить bₙ₊₁, не используя других членов наших последовательностей?

Подсказка 4

Воспользовавшись формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии, найдём формулу для bₙ₊₁, а дальше остается просто посчитать искомую сумму!

Показать ответ и решение

Рассмотрим последовательность $a : n$

2an− 1= a1+ a2 +...+ an−1+ an

Тогда для любого $n ≥ 2:$

2an−1− 1= a1+ a2 +...+ an−2+ an− 1

Подставим второе равенство в первое:

2a − 1= (a − 1)+a + a n n−1 n−1 n

an =2an−1

Пользуясь ранее найденным $a1 = 1,$ получаем $an =2n−1.$

Теперь рассмотрим вторую последовательность:

bn+1 = bn+ an = bn−1+ an−1+ an = b1+ a1+ a2+a3+ ...+ an

По формуле суммы геометрической прогрессии:

0 n bn+1 = 2+ 2-⋅(2-− 1)= 2n+ 1 (2− 1)

Таким образом,

b1 +b2+ ...+b2025− 22025 = 2025 +20+ 21+...+22024− 22025 =

0 2025 = 2025+ 2-⋅(2----− 1)− 22025 = 2025− 1= 2024 (2− 1)

Ответ: 2024

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#130320Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

(--2--) (--1---) log12 9x− 1 ≤ log12 3x+ 31

Источники: ДВИ - 2025, вариант 252, задача 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как основание логарифмов не зависит от х, мы спокойно можем от него избавиться и перейти к рассмотрению равносильного неравенства. Только не забудьте учесть, что 0.5 < 1, и записать ОДЗ!

Подсказка 2

Действуем по классике: переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и раскладываем на множители, а дальше так и напрашивается метод рационализации! Кроме того, обратите внимание на заведомо положительные множители. Для удобства от них можно избавиться.

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

(| --2-- |{ 9x− 1 > 0 ||( --1--- 3x+ 31 > 0

x >0.

Перейдём от исходного неравенства к равносильному:

--2-- ---1-- 9x− 1 ≥ 3x+ 31

2(3x+ 31)− (9x − 1) --(9x-− 1)(3x+-31)-≥ 0

x x -9x-− 2⋅3x−-63-≤0 (9 − 1)(3 + 31)

(3x−-9)(3x-+7)-≤0 (9x − 1)(3x+ 31)

Пользясь тем, что $x 3 >0$ при любых $x,$ а также методом рационализации, получаем:

x− 2 --x- ≤0

Решением этого неравенства является $x ∈(0;2].$

Ответ:

$(0;2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#130321Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- 2 2 √- 3⋅(sin x⋅tgx+ cos x⋅ctgx)= 4− 3⋅sin2x

Источники: ДВИ - 2025, вариант 252, задача 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С тангенсами и котангенсами не очень приятно работать, так что давайте перейдем к более простым функциям! И, конечно, не забудем записать ОДЗ.

Подсказка 2

Обычно мы переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и пытаемся увидеть там что-то хорошее – давайте и тут поступим так же, правда, в этот раз искать нужно вовсе не разложение на множители...

Подсказка 3

Если внимательно посмотреть на полученный числитель, то какая-то его часть свернется в квадрат суммы, а для суммы можно будет использовать ОТТ! После такого преобразования уравнение становится совсем простым, из него можно найти sin(2x), а отсюда уже и искомую переменную.

Показать ответ и решение

Наличие в выражении тангенса и котангенса обязывает нас иметь в виду ограничения:

{ sin(x)⁄= 0 cos(x)⁄= 0

Перепишем тангенс и котангенс по определению и приведём выражение к общему знаменателю:

√ - sin4(x)+-cos4(x)- √- 3⋅ sin(x)⋅cos(x) = 4− 2 3⋅sin(x)⋅cos(x)

√- sin4(x)+2sin2(x)⋅cos2(x)+ cos4(x) 3⋅---------sin(x)⋅cos(x)-------- =4

√3 ⋅ (sin2(x)+cos2(x))2= 4 sin(x)⋅cos(x)

2sin(2x)=√3-

Таким образом:

⌊ π | 2x= 3 + 2πk |⌈ 2π ,k∈ ℤ 2x= -3 +2πk

⌊ π | x = 6 + πk ⌈ π ,k∈ℤ x = 3 + πk

Ответ:

$π + πk, 6$ $π+ πk, 3$ $k∈ ℤ$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#130322Максимум баллов за задание: 7

Окружности $Ω 1$ и $Ω 2$ находятся внутри окружности $Ω,$ касаются окружности $Ω$ в точках $A$ и $B$ соответственно и касаются друг друга внешним образом в точке $C.$ Пусть $O$ — центр окружности $Ω$ и пусть $D$ — точка пересечения прямой $OC$ с отрезком $AB.$ Найдите отношение $AD :DB,$ если известно, что радиус окружности $Ω$ в три раза больше радиуса окружности $Ω1$ и в пять раз больше радиуса окружности $Ω2.$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 252, задача 5

Показать ответ и решение

Пусть $O 1$ и $O 2$ — центры окружностей $Ω 1$ и $Ω 2$ соответственно. Обозначим $AO = BO =15x,$ $∠AOC = α,$ $∠BOC = β.$ По условию

AO AO O1C = O1A= -3-= 5x и O2C =O2B = -5-= 3x

$PIC$

Заметим, что

SOO1C-= OO1-⋅sinα = O1C SOO2C OO2⋅sinβ O2C

(OA − O1A)⋅sinα O1C (OB-−-O2B)⋅sinβ-= O2C-

10x-⋅sinα 5x 12x ⋅sinβ = 3x

sin α sin-β = 2

Теперь найдем искомое отношение из равенства:

SOAD-= OA-⋅sinα =-AD SOBD OB ⋅sinβ BD

AD- BD = 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#130355Максимум баллов за задание: 7

Последовательность действительных чисел $a ,a ,a,...,a 1 2 3 2025$ удовлетворяет неравенствам

∘ --------- 2 an− (n − 1)≥ an+1− (n− 1)

при каждом $n =1,2,3,...,2024$ и неравенству

√ --------- 2 a2025− 2024≥ a1+1

Найдите все возможные значения $a2025.$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 252, задача 6

Показать ответ и решение

Для упрощения неравенств введем новую последовательность $b . n$ Пусть

bn = an− (n − 1) для n= 1,2,...,2025

Из того, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $an− (n− 1) ≥0,$ то есть $bn ≥ 0$ для всех $n= 1,...,2025.$ Перепишем данные неравенства в терминах последовательности $bn.$

Первое неравенство:

∘ --------- 2 an− (n − 1)≥ an+1− (n− 1)

Первое неравенство принимает вид:

2∘b- ≥b + 1 для n =1,2,...,2024. n n+1

Второе неравенство:

2√a2025− 2024≥ a1+ 1

Второе неравенство принимает вид:

∘ ---- 2 b2025 ≥b1+ 1

Теперь у нас есть система из 2025 неравенств для неотрицательных чисел $bn$ :

( √-- ||||| 2√b1 ≥ b2 +1 |||{ 2 b2 ≥ b3 +1 | ... ||||| 2√b2024 ≥ b2025+1 ||( 2√b2025 ≥ b1+1

Просуммируем все эти неравенства:

2∑025 ∘-- 20∑24 n=12 bn ≥(b1+1)+ n=1(bn+1+ 1)

2∑025 ∘-- 2∑025 n=12 bn ≥ n=1bn+ 2025

Перенесем все члены в одну сторону:

0 ≥20∑25bn− 22∑025∘bn-+2025 n=1 n=1

2025 0≥ ∑ (bn− 2∘bn+ 1) n=1

2025 0≥ ∑ (∘bn-− 1)2 n=1

Сумма квадратов действительных чисел всегда неотрицательна, поэтому единственный случай, когда полученное неравенство выполняется — это когда сумма равна нулю:

20∑25∘ -- ( bn − 1)2 = 0 n=1

Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Следовательно, $b =1 n$ для всех $n= 1,2,...,2025.$

Мы нашли, что единственно возможное значение для каждого члена последовательности $bn$ равно 1. Нас просят найти значение $a2025.$ Вернемся к исходной замене:

b2025 = a2025− (2025− 1)

1=a2025 − 2024

a2025 = 1+ 2024= 2025

Таким образом, единственное возможное значение для $a2025$ — это 2025.

Ответ: 2025

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#130357Максимум баллов за задание: 7

Все три плоских угла при вершине $D$ тетраэдра $ABCD$ равны $α.$ Найдите $α,$ если известно, что $AB = BC =AC,$ $AD =1$ и $√- BD = 3 − 1.$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 252, задача 7

Показать ответ и решение

Обозначим $AB = BC =AC = x.$ Выразим $x2$ через теорему косинусов для треугольников $△ADB$ и $△BDC$ и приравняем результаты:

√- √ - 2 √- √- 1 +4− 2 3− 2( 3− 1)cosα= DC +4 − 2 3− 2DC (3 − 1)cosα

2 √ - √- DC − 2DC ( 3− 1)cosα− 1+2( 3− 1)cosα =0

DC = 1; 2cosα(√3-− 1)− 1 1,2

$PIC$

Если $DC =1,$ тогда треугольник $△DAC$ равнобедренный с углами $∘ ∠DAC =∠DCA =90 − 0.5α$ при основании. По теореме синусов для треугольника $△DAC:$

-----1------ --1--- -x-- -------x------- sin(90∘− 0.5α ) = cos0.5α = 2R= sinα = 2sin(0.5α)cos(0.5α)

Отсюда получаем:

x= 2sin(0.5α)

Запишем теорему косинусов для треугольника $△ADB:$

x2 = AD2 +BD2 − 2AD ⋅BD ⋅cosα

2 √- √- 4sin (0.5α)= 1+ 4− 2 3− 2( 3 − 1)cosα

-3−-2√3- √3- cosα= 2(√3− 2) = 2

α= 30∘

$PIC$

Если $DC =2 cosα(√3− 1)− 1,$ то

cosα = -1√+DC--- 2( 3− 1)

Выразим $2 x$ через теорему косинусов для треугольников $△BDC$ и $△ADC,$ приравняем результаты:

√- 2 √- 1+ DC 2 1 +DC 4− 2 3+ DC − 2( 3− 1)CD 2(√3−-1) = 1+DC − 2DC ⋅2(√3-− 1)

- 4− 2√3− CD − CD2 = 1− CD ⋅ 1√+-CD 3− 1

(2− √3)CD2 + (2− √3)CD − 9 +5√3 =0

√- ∘ ------√-- CD = -3−-2±--13√9− 80-3 4− 2 3

Так как

√3 − 2− ∘139-− 80√3 ------4−-2√3------ < 0,

этот корень убираем из рассмотрения.

Если

√ - ∘ ------√-- CD = --3− 2-+-1√39-− 80-3, 4− 2 3

то

2− √3+ ∘139−-80√3 cosα= ----4(3√3−-5)----

Сравним полученный косинус с единицей:

√- ∘------√-- 2−--3+-√139−-80-3∨ 1 4(3 3− 5)

√ - ∘ ------√-- √- 2− 3+ 139− 80 3 ∨12 3− 20

∘ ------√-- √ - 139− 80 3∨ 13 3− 22

√- √- 139− 80 3 ∨991− 572 3

492√3-∨852

√ - 123 3∨213

45387∨45369

Так как $45387 >45369,$

∘ --------- 2-− √3-+-139− 80√3 cosα = 4(3√3 − 5) > 1

Это невозможно, следовательно, единственным ответом к задаче является $α= 30∘.$

Ответ:

$30∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#130823Максимум баллов за задание: 7

Найдите в явном виде целое число, задающееся выражением

( 1 1 1 )−1 24-+ 15 − 10

Источники: ДВИ - 2025, вариант 254, задача 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какой стандартный приём помогает сложить две произвольные дроби?

Подсказка 2

Надо просто привести дроби к общему знаменателю и посчитать. А как возвести дробь в -1 степень?

Подсказка 3

Правильно, чтобы возвести дробь в -1 степень, её нужно перевернуть.

Показать ответ и решение

Последовательно приведём дроби к общему знаменателю

( 1 1 1) −1 ( 1 1 )−1 ( 30 − 24)−1 ( 1 ) −1 24 +15 −10 = 24 − 30 = 30⋅24- = 120- = 120

Ответ: 120

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#130829Максимум баллов за задание: 7

Строго возрастающая последовательность $a ,a,a ,... 1 2 3$ натуральных чисел удовлетворяет при каждом натуральном $n$ соотношению

∘---------------- an+2 ≤ a2n +2an+ 2an+1 +2

Найдите все возможные значения $a25,$ если известно, что $a1 = 1.$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 254, задача 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как воспользоваться условием о том, что a₁ = 1?

Подсказка 2

Можно ли с его помощью вычислить несколько первых членов последовательности?

Подсказка 3

Заметим, что так как последовательность строго возрастающая, 1 = a₁ < a₂ < a₃. Попробуйте выразить a₃.

Подсказка 4

Для a₃ можно воспользоваться неравенством из условия. Не забывайте, что члены последовательности — натуральные числа.

Подсказка 5

Попробуйте при помощи метода математической индукции доказать, что последовательность a задает ряд натуральных чисел.

Показать ответ и решение

Найдём несколько первых членов последовательности:

∘-2------------ √------ 1 =a1 <a2 < a3 ≤ a1+ 2a1+2a2+ 2= 5+ 2a2

2 2 a2 < a3 ≤ 5+2a2

2 a2 − 2a2− 5< 0

1< a < √6+ 1< 4 2

Так как все члены последовательности натуральны, $a2$ в соответствии с полученным неравенством может принимать значения 2 и 3.

Пусть $a2 =3,$ тогда

3< a3 ≤√5-+2-⋅3-=√11-< 4

Но не существует натурального числа, лежащего между 3 и 4, следовательно, такой случай невозможен.

Получается, что $a2 = 2,$ в этом случае

√ - 2< a3 ≤ 9= 3

Следовательно, $a3 =3.$

Предположим, что $i$ -тый член последовательности равен $i,$ а $(i+1)$ -ый член последовательности равен $i+1,$ найдём $(i+2)$ -ой член последовательности:

∘--------------- ∘ -------------- ∘-------- i+1 <ai+2 ≤ a2i + 2ai+2ai+1 +2= i2+ 2i+2i+ 2+ 2= i2+4i+ 4= i+2

ai+2 = i+ 2

Таким образом, методом математической индукции доказано, что данная нам последовательность — последовательность натуральных чисел, тогда $a25 =25.$

Ответ: 25

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#130834Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

√- (2− 2x)⋅log2⋅3x−5 3≤ 1

Источники: ДВИ - 2025, вариант 254, задача 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как Вы думаете, что можно сделать с основанием логарифма?

Подсказка 2

Так как мы вычитаем 5, свойства логарифмов нам не помогут. А поможет ли нам новая переменная?

Подсказка 3

Пусть t = 2 ⋅ 3ˣ - 5. Выразите x.

Подсказка 4

Решите неравенство при помощи метода рационализации и не забудьте сделать обратную замену, а также учесть все ограничения для t!

Показать ответ и решение

Обозначим $t= 2⋅3x− 5,$ тогда

t+5- x = log3 2

А так же

6 1− x= log3t+-5

Сразу отметим, что $t> 0$ и $t⁄= 1.$ После замены неравенство примет вид:

2log3 -6--logt√3≤ 1 t+5

log -6--log 3≤ 1 3t+5 t

log3-6-- -logt+t5-≤ 1 3

logt--6-− 1≤ 0 t+ 5

--6--- logtt(t+ 5) ≤0

Воспользуемся методом рационализации:

( 6 ) (t− 1) t(t+5) − 1 ≤ 0

t2+-5t− 6- (t− 1) t(t+ 5) ≥ 0

(t− 1)2(t+ 6) --t(t+5)---≥0

Учитывая ограничения на $t$ , получаем $t> 0.$ Остается вернуться к исходной переменной и решить систему:

( { 2 ⋅3x− 5> 0 ( x 2 ⋅3 − 5⁄= 1

({ x> log 2.5 3 ( x⁄= 1

x ∈(log32.5;1)∪(1;+∞ )

Ответ:

$(log 2.5;1)∪(1;+∞ ) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#130836Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin3x(cosx− cos2x)− cos3x(sinx− sin2x)= 6cosx− 3

Источники: ДВИ - 2025, вариант 254, задача 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала просто раскроем скобки.

Подсказка 2

Можно ли здесь заметить какие-то тригонометрические формулы?

Подсказка 3

Попробуйте увидеть синус разности.

Подсказка 4

Осталось просто дорешать уравнение, воспользовавшись формулой двойного угла и представив наше уравнение в виде произведения двух скобок.

Показать ответ и решение

Раскроем скобки в левой части уравнения:

sin3xcosx− sin 3x cos2x− cos3xsinx +cos3xsin2x= 6cosx − 3

Перегруппируем слагаемые и воспользуемся формулой синуса разности:

(sin3xcosx− sinxcos3x)+ (sin2xcos3x− sin3xcos2x)= 6cosx− 3

sin (3x− x)+sin (2x− 3x)=6 cosx− 3

sin2x− sinx− 6cosx +3 =0

Распишем синус двойного угла и разложим выражение на множители:

2sinxcosx− sinx− 6cosx +3 =0

(sinx− 3)(2cosx− 1)= 0

Так как $− 1≤ sinx ≤1$ и $sin x− 3⁄=0,$ поделим уравнение на эту ненулевую скобку.

2cosx− 1= 0

1 cosx= 2

π x= ±3 +2πn; n ∈ℤ

Ответ:

$± π + 2πn; n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#130842Максимум баллов за задание: 7

Внутри окружности $Ω$ радиуса 5 отмечена точка $E,$ через которую проведены хорды $AB$ и $CD,$ перпендикулярные друг другу. Найдите все возможные значения расстояния от вершины $F$ прямоугольника $AECF$ до центра $O$ окружности $Ω,$ если известно, что $OE = 1.$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 254, задача 5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам ведь не просто так дана перпендикулярность, мы определенно воспользуемся ей в будущем, но как это сделать?

Подсказка 2

Скорее всего, перпендикулярность пригодится нам для теоремы Пифагора. Найти мы хотим FO, какие отрезки можно посчитать для этого?

Подсказка 3

Давайте проведем через точку O прямую, параллельную AB, тогда на этой прямой и прямой FA образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой FO!

Подсказка 4

Все равно пока не очень понятно, как считать... Нам даны радиус и отрезок OE, но для чего?

Подсказка 5

А можно ли получить где-то равные им отрезки?

Подсказка 6

Пусть прямая, проведенная через O параллельно AB, пересекается с FA в точке X, с CE — в точке K. Обозначим KO за x, продлим KO за точку X на длину x, получим точку O₁.

Подсказка 7

Запишите теорему Пифагора для треугольников XO₁F и XAO. Можно ли выразить их через известные величины?

Подсказка 8

Сложите полученные выражения и перегруппируйте слагаемые.

Показать ответ и решение

Пусть расстояние от точки $O$ до прямой $CD$ равно $x.$ Проведем через точку $O$ прямую, параллельную $AB,$ на этой прямой отметим точку $O1,$ находящуюся на расстоянии $c= x$ от прямой $AF$ так, чтобы точки $O$ и $O1$ были по разные стороны от прямой $AF.$

$PIC$

Очевидно, что $O1F = OC = 5$ и $O1A= OE = 1.$ Заметим, что диагонали четырехугольника $AO1F O$ перпендикулярны, обозначим точку пересечения диагоналей за $X,$ введем обозначения: