Тема ДВИ в МГУ - задания по годам

ДВИ 2025

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви в мгу - задания по годам

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#132901Максимум баллов за задание: 7

Положительные действительные числа $a ,a ,a,b ,b ,b 1 2 3 1 2 3$ удовлетворяют равенству

a1+ a2+ a3 =b1+ b2 +b3 = 3

Найдите наименьшее возможное значение выражения

--a21-- --a22-- --a23-- a1+ b1 + a2+ b2 +a3+ b3

Источники: ДВИ - 2025, вариант 251, задача 6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вряд ли это сложная задача, что можно сделать с дробями?

Подсказка 2

Можно ли воспользоваться каким-то известным фактом? Нам бы хотелось оценить сумму дробей снизу.

Подсказка 3

Примените неравенство Коши-Буняковского-Шварца для дробей.

Подсказка 4

Нам надо как-то воспользоваться тем, что a₁ + a₂ + a₃ = b₁ + b₂ + b₃ = 3. Попробуйте сгруппировать слагаемые в получившейся дроби. Останется только подобрать пример.

Подсказка 5

А что, если числа a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃ будут равны?

Показать ответ и решение

Применим неравенство КБШ для дробей

a21 a22 a23 (a1+ a2+a3)2 a1-+b1 + a2+-b2-+ a3-+b3 ≥ (a1+-b1)+-(a2+-b2)+-(a3+b3)

Так как $a1+ a2+a3 = b1+ b2+ b3 = 3,$ получаем:

2 2 ----(a1+-a2+a3)-----= -3--= 9 = 3 a1+ a2+ a3 +b1+ b2+ b3 3+ 3 6 2

Неравенство достигается при:

a = a = a =b = b = b =1 1 2 3 1 2 3

Действительно:

-12-+ -12-+ -12-= 1 + 1 + 1= 3 1+ 1 1+ 1 1+ 1 2 2 2 2

Ответ:

$3 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#132902Максимум баллов за задание: 7

Дан тетраэдр $ABCD.$ Ребра $AC$ и $BD$ перпендикулярны прямой, проходящей через их середины. Найдите все возможные значения $AB + BC,$ если известно, что $AD + DC = 1.$

Источники: ДВИ - 2025, вариант 251, задача 7

Показать ответ и решение

Обозначим прямую, пересекающую середины $AC$ и $BD,$ как $MN,$ где $M$ — середина $BD,$ а $N$ — середина $AC.$ Через точку $N$ проведём прямую $l,$ параллельную $BD$ (в плоскости $BND ).$ На ней обозначим точки $B1$ и $D1$ такие, что $B1D1$ является проекцией $BD$ на прямую $l.$ Теперь заметим, что в таком случае $B1N = BM$ и $D1N =DM,$ а так как $DM =BM$ по условию, то $B1N = D1N.$ Рассмотрим четырёхугольник $B1AD1C :$ получили, что его диагонали точкой пересечения $N$ делятся пополам, тогда $B1AD1C$ — параллелограмм. Теперь последовательно рассмотрим пары треугольников $DD1C,$ $BB1A$ и $AD1D,$ $CB1B.$ Заметим, что все они — прямоугольные с равными катетами, то есть $△DD1C = △BB1A$ и $△AD1D = △CB1B,$ тогда, в частности, $AB = DC$ и $AD = BC.$ Теперь рассмотрим равенство из условия: так как $AD +DC = 1,$ то по выраженным равенствам следует, что $BC + AB =1.$