Тема Задачи №20 из банка ФИПИ

05 №20. Тип 5

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи №20 из банка фипи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#42120Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнения $( ) ( ) x2− 252 + x2+ 2x− 15 2 = 0.$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 29

Показать ответ и решение

Способ 1

Квадрат числа неотрицателен, поэтому для любого $x$ верно, что

( 2 )2 ( 2 )2 x − 25 ≥0 и x + 2x− 15 ≥0

Сумма квадратов двух выражений равна 0, когда квадраты обоих выражений равны 0, поэтому исходное уравнение равносильно системе:

{( 2 )2 (x2− 25 = 0)2 x + 2x− 15 = 0

Квадрат выражения равен 0, когда само выражение равно 0, поэтому

{ ( )2 { (x2− 25 = 0) ⇔ x2− 25= 0 x2+ 2x − 15 2 = 0 x2+ 2x− 15= 0

Решим первое уравнение системы:

2 x − 25= 0 (x− 5)(x +5)= 0 [ x= 5 x= −5

Решим второе уравнение системы:

2 x + 2x− 15= 0 D = 22− 4⋅(−15)= 4+ 60= 64= 82 x= −-2±-8 [ 2 x= 3 x= −5

Вернемся к системе:

(| [x= 5 { 2 |||{ x= − 5 x2− 25= 0 ⇔ [ ⇔ x = −5 x + 2x− 15= 0 ||||( x= 3 x= − 5

Способ 2

Преобразуем уравнение

(x2− 25)2+ (x2 +2x − 15)2 = 0

Для этого решим уравнение $x2+ 2x− 15 =0.$ По теореме Виета

{x1 + x2 = −2 [x= 3 x x = −15 ⇒ x= −5 1 2

Тогда

2 x + 2x− 15= (x − 3)(x+ 5)

Следовательно,

( ) ( ) x2− 25 2+ x2 +2x − 15 2 = 0 ((x− 5)(x +5))2+ ((x− 3)(x + 5))2 = 0 (x− 5)2(x+ 5)2+ (x − 3)2(x+ 5)2 =0 (x+ 5)2((x − 5)2+ (x− 3)2)= 0 2( 2 2 ) (x + 5) x − 10x+ 25+ x − 6x+ 9 = 0 (x + 5)2(2x2− 16x+ 34)= 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому полученное уравнение равносильно совокупности:

[(x+ 5)2 = 0 2x2− 16x+ 34= 0

Решим первое уравнение совокупности:

2 (x +5) = 0 x+ 5= 0 x = −5

Решим второе уравнение совокупности:

2 2x − 16x + 34 = 0 D = (−16)2 − 4 ⋅2 ⋅34 = 256 − 272 <0

Следовательно, второе уравнение совокупности не имеет решений. Тогда

[ (x+ 5)2 = 0 2x2− 16x+ 34= 0 ⇔ x= −5

Ответ:

$− 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#90617Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $( ) ( ) x2− 92 + x2+ x− 6 2 = 0.$

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 30

Показать ответ и решение

Способ 1

Квадрат числа неотрицателен, поэтому для любого $x$ верно, что

( 2 )2 ( 2 )2 x − 9 ≥ 0 и x + x − 6 ≥ 0

{( 2 )2 (x2− 9 =)02 x + x− 6 = 0

Квадрат выражения равен 0, когда само выражение равно 0, поэтому

{ ( )2 { x(2 − 9 =)0 ⇔ x2− 9= 0 x2 +x − 6 2 = 0 x2+ x− 6 =0

Решим первое уравнение системы:

2 x − 9= 0 (x− 3)(x +3)= 0 [ x= 3 x= −3

Решим второе уравнение системы:

2 x + x− 6= 0 D = 12− 4 ⋅(− 6)= 1+ 24= 25= 52 x= −-1±-5 [ 2 x= 2 x= −3

Вернемся к системе:

(| [x= 3 { 2 |||{ x= − 3 x2− 9= 0 ⇔ [ ⇔ x= −3 x + x− 6= 0 ||||( x= 2 x= − 3

Способ 2

Преобразуем уравнение

(x2 − 9)2+ (x2+ x− 6)2 = 0

Для этого решим уравнение $x2+ x − 6 = 0.$ По теореме Виета

{x1 + x2 = −1 [x= 2 x x = −6 ⇒ x= −3 1 2

Тогда

2 x + x− 6= (x− 2)(x+ 3)

Следовательно,

( ) ( ) x2 − 9 2+ x2+ x− 6 2 = 0 ((x− 3)(x +3))2+ ((x− 2)(x + 3))2 = 0 (x− 3)2(x+ 3)2+ (x − 2)2(x+ 3)2 =0 (x+ 3)2((x − 3)2+ (x− 2)2)= 0 2( 2 2 ) (x +3) x − 6x+ 9+ x − 4x+ 4 = 0 (x + 3)2(2x2− 10x+ 13)= 0

[(x+ 3)2 = 0 2x2− 10x+ 13= 0

Решим первое уравнение совокупности:

2 (x +3) = 0 x+ 3= 0 x = −3

Решим второе уравнение совокупности:

2 2x − 10x + 13 = 0 D = (−10)2 − 4 ⋅2 ⋅13 = 100 − 104 <0

Следовательно, второе уравнение совокупности не имеет решений. Тогда

[ (x+ 3)2 = 0 2x2− 10x+ 13= 0 ⇔ x= −3

Ответ:

$− 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#38563Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $( ) ( ) x2− 492+ x2+ 4x− 21 2 = 0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Квадрат числа неотрицателен, поэтому для любого $x$ верно, что

( 2 )2 ( 2 )2 x − 49 ≥0 и x + 4x− 21 ≥0

{( 2 )2 (x2− 49 = 0)2 x + 4x− 21 = 0

Квадрат выражения равен 0, когда само выражение равно 0, поэтому

{ ( )2 { (x2− 49 = 0) ⇔ x2− 49= 0 x2+ 4x − 21 2 = 0 x2+ 4x− 21= 0

Решим первое уравнение системы:

2 x − 49= 0 (x− 7)(x +7)= 0 [ x= 7 x= −7

Решим второе уравнение системы:

2 x + 4x− 21= 0 D = 42− 4⋅(−21)= 16+ 84= 100= 102 x = −4±-10- [ 2 x= 3 x= −7

Вернемся к системе:

(| [x= 7 { 2 |||{ x= − 7 x2− 49= 0 ⇔ [ ⇔ x = −7 x + 4x− 21= 0 ||||( x= 3 x= − 7

Способ 2

Преобразуем уравнение

(x2− 49)2+ (x2 +4x − 21)2 = 0

Для этого решим уравнение $x2+ 4x− 21 =0.$ По теореме Виета

{x1 + x2 = −4 [x= 3 x x = −21 ⇒ x= −7 1 2

Тогда

2 x + 4x− 21= (x − 3)(x+ 7)

Следовательно,

( ) ( ) x2− 49 2+ x2 +4x − 21 2 = 0 ((x− 7)(x +7))2+ ((x− 3)(x + 7))2 = 0 (x− 7)2(x+ 7)2+ (x − 3)2(x+ 7)2 =0 (x+ 7)2((x − 7)2+ (x− 3)2)= 0 2( 2 2 ) (x + 7) x − 14x+ 49+ x − 6x+ 9 = 0 (x + 7)2(2x2− 20x+ 58)= 0

[(x+ 7)2 = 0 2x2− 20x+ 58= 0

Решим первое уравнение совокупности:

2 (x +7) = 0 x+ 7= 0 x = −7

Решим второе уравнение совокупности:

2 2x − 20x + 58 = 0 D = (−20)2 − 4 ⋅2 ⋅58 = 200 − 264 <0

Следовательно, второе уравнение совокупности не имеет решений. Тогда

[ (x+ 7)2 = 0 2x2− 20x+ 58= 0 ⇔ x= −7

Ответ:

$− 7$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#54963Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $( ) ( ) x2− 12 + x2− 6x− 7 2 = 0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Квадрат числа неотрицателен, поэтому для любого $x$ верно, что

( 2 )2 ( 2 )2 x − 1 ≥0 и x − 6x− 7 ≥ 0

{ (2 )2 x(2 − 1 = 0)2 x − 6x − 7 = 0

Квадрат выражения равен 0, когда само выражение равно 0, поэтому

{ ( )2 { x(2 − 1 = 0) ⇔ x2− 1= 0 x2 − 6x − 7 2 = 0 x2− 6x− 7= 0

Решим первое уравнение системы:

2 x − 1= 0 (x− 1)(x +1)= 0 [ x= 1 x= −1

Решим второе уравнение системы:

2 x − 6x− 7= 0 D = (−6)2 − 4 ⋅(− 7) = 36 +28 = 64 = 82 x = 6±-8 [ 2 x= 7 x= −1

Вернемся к системе:

(|[x = 1 { 2 |||{ x = −1 x2− 1= 0 ⇔ [ ⇔ x= − 1 x − 6x− 7 =0 ||||( x = 7 x = −1

Способ 2

Преобразуем уравнение

(x2− 1)2+ (x2 − 6x − 7)2 = 0

Для этого решим уравнение $x2− 6x− 7 =0.$ По теореме Виета

{x1 + x2 = 6 [x =7 xx = −7 ⇒ x =− 1 12

Тогда

2 x − 6x− 7 =(x− 7)(x + 1)

Следовательно,

( ) ( ) x2− 1 2+ x2 − 6x − 7 2 = 0 ((x− 1)(x +1))2+ ((x− 7)(x + 1))2 = 0 (x− 1)2(x+ 1)2+ (x − 7)2(x+ 1)2 =0 (x+ 1)2((x − 1)2+ (x− 7)2)= 0 2( 2 2 ) (x + 1) x − 2x+ 1+ x − 14x+ 49 = 0 (x + 1)2(2x2− 16x+ 50)= 0

[(x+ 1)2 = 0 2x2− 16x+ 50= 0

Решим первое уравнение совокупности:

2 (x +1) = 0 x+ 1= 0 x = −1

Решим второе уравнение совокупности:

2 2x − 16x + 50 = 0 D = (−16)2 − 4 ⋅2 ⋅50 = 256 − 400 <0

Следовательно, второе уравнение совокупности не имеет решений. Тогда

[ (x+ 1)2 = 0 2x2− 16x+ 50= 0 ⇔ x= −1

Ответ:

$− 1$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90615Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $( ) ( ) x2− 42 + x2− 3x− 10 2 = 0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Квадрат числа неотрицателен, поэтому для любого $x$ верно, что

( 2 )2 (2 )2 x − 4 ≥ 0 и x − 3x − 10 ≥ 0

{( 2 )2 (x2− 4 = 0)2 x − 3x− 10 = 0

Квадрат выражения равен 0, когда само выражение равно 0, поэтому

{ ( )2 { (x2− 4 = 0) ⇔ x2− 4= 0 x2− 3x − 10 2 = 0 x2− 3x− 10= 0

Решим первое уравнение системы:

2 x − 4= 0 (x− 2)(x +2)= 0 [ x= 2 x= −2

Решим второе уравнение системы:

2 x − 3x− 10= 0 D = (−3)2 − 4 ⋅(− 10) =9 +40 = 49 = 72 x = 3±-7 [ 2 x= 5 x= −2

Вернемся к системе:

(| [x= 2 { 2 |||{ x= − 2 x2− 4= 0 ⇔ [ ⇔ x = −2 x − 3x− 10= 0 ||||( x= 5 x= − 2

Способ 2

Преобразуем уравнение

(x2− 4)2+ (x2− 3x− 10)2 = 0

Для этого решим уравнение $x2− 3x− 10 =0.$ По теореме Виета

{x1 + x2 = 3 [x =5 xx = 10 ⇒ x =− 2 12

Тогда

2 x − 3x− 10= (x − 5)(x+ 2)

Следовательно,

( ) ( ) x2− 42+ x2− 3x− 10 2 = 0 ((x− 2)(x +2))2+ ((x− 5)(x + 2))2 = 0 (x− 2)2(x+ 2)2+ (x − 5)2(x+ 2)2 =0 (x+ 2)2((x − 2)2+ (x− 5)2)= 0 2( 2 2 ) (x + 2) x − 4x+ 4+ x − 10x+ 25 = 0 (x + 2)2(2x2− 14x+ 29)= 0

[(x+ 2)2 = 0 2x2− 14x+ 29= 0

Решим первое уравнение совокупности:

2 (x +2) = 0 x+ 2= 0 x = −2

Решим второе уравнение совокупности:

2 2x − 14x + 29 = 0 D = (−14)2 − 4 ⋅2 ⋅29 = 196 − 232 <0

Следовательно, второе уравнение совокупности не имеет решений. Тогда

[ (x+ 2)2 = 0 2x2− 14x+ 29= 0 ⇔ x= −2

Ответ:

$− 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90616Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $( ) ( ) x2− 42 + x2− 6x− 16 2 = 0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Квадрат числа неотрицателен, поэтому для любого $x$ верно, что

( 2 )2 (2 )2 x − 4 ≥ 0 и x − 6x − 16 ≥ 0

{( 2 )2 (x2− 4 = 0)2 x − 6x− 16 = 0

Квадрат выражения равен 0, когда само выражение равно 0, поэтому

{ ( )2 { (x2− 4 = 0) ⇔ x2− 4= 0 x2− 6x − 16 2 = 0 x2− 6x− 16= 0

Решим первое уравнение системы:

2 x − 4= 0 x2 = 4 x = ±2

Решим второе уравнение системы:

x2− 6x− 16= 0 2 2 D = (− 6) − 4⋅(−16)= 36+ 64= 100= 10 6 ±10 x= --2-- [ x= 8 x= −2

Вернемся к системе:

( [ { |||| x= 2 x2− 4= 0 { x= − 2 x2− 6x− 16= 0 ⇔ || [x= 8 ⇔ x = −2 ||( x= − 2

Способ 2

Преобразуем уравнение

(x2− 4)2+ (x2− 6x− 16)2 = 0

Для этого решим уравнение $x2− 6x− 16 =0.$ По теореме Виета

{x1 +x2 = 6 [x =8 xx =− 16 ⇒ x =− 2 12

Тогда

2 x − 6x− 16= (x − 8)(x+ 2)

Следовательно,

( ) ( ) x2− 42+ x2− 6x− 16 2 = 0 ((x− 2)(x +2))2+ ((x− 8)(x + 2))2 = 0 (x− 2)2(x+ 2)2+ (x − 8)2(x+ 2)2 =0 (x+ 2)2((x − 2)2+ (x− 8)2)= 0 2( 2 2 ) (x + 2) x − 4x+ 4+ x − 16x+ 64 = 0 (x + 2)2(2x2− 20x+ 68)= 0

[(x+ 2)2 = 0 2x2− 20x+ 68= 0

Решим первое уравнение совокупности:

2 (x +2) = 0 x+ 2= 0 x = −2

Решим второе уравнение совокупности:

2 2x − 20x + 68 = 0 D = (−20)2 − 4 ⋅2 ⋅68 = 400 − 544 <0

Следовательно, второе уравнение совокупности не имеет решений. Тогда

[ (x+ 2)2 = 0 2x2− 20x+ 68= 0 ⇔ x= −2

Ответ:

$− 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90618Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $( ) ( ) x2− 92 + x2− 2x− 15 2 = 0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Квадрат числа неотрицателен, поэтому для любого $x$ верно, что

( 2 )2 (2 )2 x − 9 ≥ 0 и x − 2x − 15 ≥ 0

{( 2 )2 (x2− 9 = 0)2 x − 2x− 15 = 0

Квадрат выражения равен 0, когда само выражение равно 0, поэтому

{ ( )2 { (x2− 9 = 0) ⇔ x2− 9= 0 x2− 2x − 15 2 = 0 x2− 2x− 15= 0

Решим первое уравнение системы:

2 x − 9= 0 x2 = 9 x = ±3

Решим второе уравнение системы:

x2− 2x− 15= 0 2 2 D = (−2) − 4 ⋅(− 15) =4 +60 = 64 = 8 2± 8 x = -2-- [ x= 5 x= −3

Вернемся к системе:

( [ { |||| x= 3 x2− 9= 0 { x= − 3 x2− 2x− 15= 0 ⇔ || [x= 5 ⇔ x = −3 ||( x= − 3

Способ 2

Преобразуем уравнение

(x2− 9)2+ (x2− 2x− 15)2 = 0

Для этого решим уравнение $x2− 2x− 15 =0.$ По теореме Виета

{x1 +x2 = 2 [x =5 xx =− 15 ⇒ x =− 3 12

Тогда

2 x − 2x− 15= (x − 5)(x+ 3)

Следовательно,

( ) ( ) x2− 92+ x2− 2x− 15 2 = 0 ((x− 3)(x +3))2+ ((x− 5)(x + 3))2 = 0 (x− 3)2(x+ 3)2+ (x − 5)2(x+ 3)2 =0 (x+ 3)2((x − 3)2+ (x− 5)2)= 0 2( 2 2 ) (x + 3) x − 6x+ 9+ x − 10x+ 25 = 0 (x + 3)2(2x2− 16x+ 34)= 0

[(x+ 3)2 = 0 2x2− 16x+ 34= 0

Решим первое уравнение совокупности:

2 (x +3) = 0 x+ 3= 0 x = −3

Решим второе уравнение совокупности:

2 2x − 16x + 34 = 0 D = (−16)2 − 4 ⋅2 ⋅34 = 256 − 272 <0

Следовательно, второе уравнение совокупности не имеет решений. Тогда

[ (x+ 3)2 = 0 2x2− 16x+ 34= 0 ⇔ x= −3

Ответ:

$− 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90619Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $( ) ( ) x2− 162+ x2+ x− 12 2 = 0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Квадрат числа неотрицателен, поэтому для любого $x$ верно, что

( 2 )2 ( 2 )2 x − 16 ≥ 0 и x + x − 12 ≥ 0

{ (2 )2 x(2 − 16 =)02 x +x − 12 = 0

Квадрат выражения равен 0, когда само выражение равно 0, поэтому

{ ( )2 { x(2 − 16 =)0 ⇔ x2− 16= 0 x2 +x − 12 2 = 0 x2+ x− 12= 0

Решим первое уравнение системы:

2 x − 16= 0 (x− 4)(x +4)= 0 [ x= 4 x= −4

Решим второе уравнение системы:

2 x + x− 12= 0 D = 12− 4⋅(−12)= 1+ 48= 49= 72 x= −-1±-7 [ 2 x= 3 x= −4

Вернемся к системе:

(|[x = 4 { 2 |||{ x = −4 x2− 16= 0 ⇔ [ ⇔ x= − 4 x + x − 12 =0 ||||( x = 3 x = −4

Способ 2

Преобразуем уравнение

(x2− 16)2+ (x2+ x− 12)2 = 0

Для этого решим уравнение $x2+ x − 12 =0.$ По теореме Виета

{x1 + x2 = −1 [x= 3 x x = −12 ⇒ x= −4 1 2

Тогда

2 x + x− 12 =(x− 3)(x + 4)

Следовательно,

( ) ( ) x2− 16 2+ x2+ x− 12 2 = 0 ((x− 4)(x +4))2+ ((x− 3)(x + 4))2 = 0 (x− 4)2(x+ 4)2+ (x − 3)2(x+ 4)2 =0 (x+ 4)2((x − 4)2+ (x− 3)2)= 0 2(2 2 ) (x+ 4) x − 8x +16 +x − 6x +9 = 0 (x + 4)2(2x2− 14x+ 25)= 0

[(x+ 4)2 = 0 2x2− 14x+ 25= 0

Решим первое уравнение совокупности:

2 (x +4) = 0 x+ 4= 0 x = −4

Решим второе уравнение совокупности:

2 2x − 14x + 25 = 0 D = (−14)2 − 4 ⋅2 ⋅25 = 196 − 200 <0

Следовательно, второе уравнение совокупности не имеет решений. Тогда

[ (x+ 4)2 = 0 2x2− 14x+ 25= 0 ⇔ x= −4

Ответ:

$− 4$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90620Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $( ) ( ) x2− 252+ x2+ 3x− 10 2 = 0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Квадрат числа неотрицателен, поэтому для любого $x$ верно, что

( 2 )2 ( 2 )2 x − 25 ≥0 и x + 3x− 10 ≥0

{( 2 )2 (x2− 25 = 0)2 x + 3x− 10 = 0

Квадрат выражения равен 0, когда само выражение равно 0, поэтому

{ ( )2 { (x2− 25 = 0) ⇔ x2− 25= 0 x2+ 3x − 10 2 = 0 x2+ 3x− 10= 0

Решим первое уравнение системы:

2 x − 25= 0 x2 = 25 x = ±5

Решим второе уравнение системы:

x2+ 3x− 10= 0 2 2 D = 3 − 4⋅(−10)= 9+ 40= 49= 7 − 3± 7 x= --2--- [ x= 2 x= −5

Вернемся к системе:

( [ { |||| x= 5 x2− 25= 0 { x= − 5 x2+ 3x− 10= 0 ⇔ || [x= 2 ⇔ x = −5 ||( x= − 5

Способ 2

Преобразуем уравнение

(x2− 25)2+ (x2 +3x − 10)2 = 0

Для этого решим уравнение $x2+ 3x− 10 =0.$ По теореме Виета

{x1 + x2 = −3 [x= 2 x x = −10 ⇒ x= −5 1 2

Тогда

2 x + 3x− 10= (x − 2)(x+ 5)

Следовательно,

( ) ( ) x2− 25 2+ x2 +3x − 10 2 = 0 ((x− 5)(x +5))2+ ((x− 2)(x + 5))2 = 0 (x− 5)2(x+ 5)2+ (x − 2)2(x+ 5)2 =0 (x+ 5)2((x − 5)2+ (x− 2)2)= 0 2( 2 2 ) (x + 5) x − 10x+ 25+ x − 4x+ 4 = 0 (x + 5)2(2x2− 14x+ 29)= 0

[(x+ 5)2 = 0 2x2− 14x+ 29= 0

Решим первое уравнение совокупности:

2 (x +5) = 0 x+ 5= 0 x = −5

Решим второе уравнение совокупности:

2 2x − 14x + 29 = 0 D = (−14)2 − 4 ⋅2 ⋅29 = 196 − 232 <0

Следовательно, второе уравнение совокупности не имеет решений. Тогда

[ (x+ 5)2 = 0 2x2− 14x+ 29= 0 ⇔ x= −5

Ответ:

$− 5$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90621Максимум баллов за задание: 2

Решите уравнение $( ) ( ) x2− 362+ x2+ 4x− 12 2 = 0.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1

Квадрат числа неотрицателен, поэтому для любого $x$ верно, что

( 2 )2 ( 2 )2 x − 36 ≥0 и x + 4x− 12 ≥0

{( 2 )2 (x2− 36 = 0)2 x + 4x− 12 = 0

Квадрат выражения равен 0, когда само выражение равно 0, поэтому

{ ( )2 { (x2− 36 = 0) ⇔ x2− 36= 0 x2+ 4x − 12 2 = 0 x2+ 4x− 12= 0

Решим первое уравнение системы:

2 x − 36= 0 x2 = 36 x = ±6

Решим второе уравнение системы:

x2+ 4x− 12= 0 2 2 D = (4) − 4 ⋅(−12)= 16+ 48= 64 =8 − 4± 8 x= --2--- [ x= 2 x= −6

Вернемся к системе:

( [ { |||| x= 6 x2− 36= 0 { x= − 6 x2+ 4x− 12= 0 ⇔ || [x= 2 ⇔ x = −6 ||( x= − 6

Способ 2

Преобразуем уравнение

(x2− 36)2+ (x2 +4x − 12)2 = 0

Для этого решим уравнение $x2+ 4x− 12 =0.$ По теореме Виета

{x1 + x2 = −4 [x= 2 x x = −12 ⇒ x= −6 1 2

Тогда

2 x + 4x− 12= (x − 2)(x+ 6)

Следовательно,

( ) ( ) x2− 36 2+ x2 +4x − 12 2 = 0 ((x− 6)(x +6))2+ ((x− 2)(x + 6))2 = 0 (x− 6)2(x+ 6)2+ (x − 2)2(x+ 6)2 =0 (x+ 6)2((x − 6)2+ (x− 2)2)= 0 2( 2 2 ) (x + 6) x − 12x+ 36+ x − 4x+ 4 = 0 (x + 6)2(2x2− 16x+ 40)= 0

[(x+ 6)2 = 0 2x2− 16x+ 40= 0

Решим первое уравнение совокупности:

2 (x +6) = 0 x+ 6= 0 x = −6

Решим второе уравнение совокупности:

2 2x − 16x + 40 = 0 D = (−16)2 − 4 ⋅2 ⋅40 = 256 − 320 <0

Следовательно, второе уравнение совокупности не имеет решений. Тогда

[ (x+ 6)2 = 0 2x2− 16x+ 40= 0 ⇔ x= −6

Ответ:

$− 6$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2