02 №23. Тип 2 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32026Максимум баллов за задание: 2

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN,$ если $MN = 12,$ $AC = 42,$ $NC = 25.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $BN = x.$ Тогда

BC = BN + NC = x +25.

$ABCM142xN225$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN.$ В них $∠ABC$ — общий, $∠BAC = ∠BMN$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AC$ и $MN$ и секущей $AB.$ Следовательно, треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AC--= BC-- MN BN 42 = x+-25 12 x 7 x+-25 2 = x 7x= 2⋅(x+ 25) 7x =2x +50 5x =50 x= 10

Значит, $BN = 10.$

Ответ: 10

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#50263Максимум баллов за задание: 2

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN,$ если $MN =20,$ $AC = 35,$ $NC = 39.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $BN = x.$ Тогда

BC = BN + NC = x +39.

$ABCM233xN059$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN.$ В них $∠ABC$ — общий, $∠BAC = ∠BMN$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AC$ и $MN$ и секущей $AB.$ Следовательно, треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AC--= BC-- MN BN 35 = x+-39 20 x 7= x+-39 4 x 7x= 4⋅(x+ 39) 7x= 4x+ 156 3x= 156 x= 52

Значит, $BN = 52.$

Ответ: 52

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#57403Максимум баллов за задание: 2

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN,$ если $MN =13,$ $AC = 65,$ $NC = 28.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $BN = x.$ Тогда

BC = BN + NC = x +28.

$ABCM162xN358$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN.$ В них $∠ABC$ — общий, $∠BAC = ∠BMN$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AC$ и $MN$ и секущей $AB.$ Следовательно, треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AC--= BC-- MN BN 65 = x+-28 13 x x-+28 5= x 5x = x+ 28 4x =28 x =7

Значит, $BN = 7.$

Ответ: 7

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#58606Максимум баллов за задание: 2

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN,$ если $MN =15,$ $AC = 25,$ $NC = 22.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $BN = x.$ Тогда

BC = BN + NC = x +22.

$ABCM122xN552$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN.$ В них $∠ABC$ — общий, $∠BAC = ∠BMN$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AC$ и $MN$ и секущей $AB.$ Следовательно, треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AC--= BC-- MN BN 25 = x+-22 15 x 5 x+-22 3 = x 5x= 3⋅(x+ 22) 5x =3x +66 2x =66 x= 33

Значит, $BN = 33.$

Ответ: 33

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#95519Максимум баллов за задание: 2

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN,$ если $MN =17,$ $AC = 51,$ $NC = 32.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $BN = x.$ Тогда

BC = BN + NC = x +32.

$ABCM153xN712$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN.$ В них $∠ABC$ — общий, $∠BAC = ∠BMN$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AC$ и $MN$ и секущей $AB.$ Следовательно, треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AC--= BC-- MN BN 51 = x+-32 17 x x-+32 3= x 3x = x+ 32 2x =32 x= 16

Значит, $BN = 16.$

Ответ: 16

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#95523Максимум баллов за задание: 2

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN,$ если $MN =14,$ $AC = 21,$ $NC = 10.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $BN = x.$ Тогда

BC = BN + NC = x +10.

$ABCM121xN410$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN.$ В них $∠ABC$ — общий, $∠BAC = ∠BMN$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AC$ и $MN$ и секущей $AB.$ Следовательно, треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AC--= BC-- MN BN 21 = x+-10 14 x 3 x+-10 2 = x 3x= 2⋅(x+ 10) 3x =2x +20 x= 20

Значит, $BN = 20.$

Ответ: 20

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#95525Максимум баллов за задание: 2

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN,$ если $MN =11,$ $AC = 44,$ $NC = 18.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $BN = x.$ Тогда

BC = BN + NC = x +18.

$ABCM141xN148$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN.$ В них $∠ABC$ — общий, $∠BAC = ∠BMN$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AC$ и $MN$ и секущей $AB.$ Следовательно, треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AC--= BC-- MN BN 44 = x+-18 11 x x-+18 4= x 4x = x+ 18 3x =18 x =6

Значит, $BN = 6.$

Ответ: 6

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#95530Максимум баллов за задание: 2

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN,$ если $MN =22,$ $AC = 55,$ $NC = 36.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать доказательство

Пусть $BN = x.$ Тогда

BC = BN + NC = x +36.

$ABCM253xN256$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN.$ В них $∠ABC$ — общий, $∠BAC = ∠BMN$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AC$ и $MN$ и секущей $AB.$ Следовательно, треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AC--= BC-- MN BN 55 = x+-36 22 x 5 x+-36 2 = x 5x= 2⋅(x+ 36) 5x =2x +72 3x =72 x= 24

Значит, $BN = 24.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#95527Максимум баллов за задание: 2

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN,$ если $MN =16,$ $AC = 20,$ $NC = 15.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 5

Показать ответ и решение

Пусть $BN = x.$ Тогда

BC = BN + NC = x +15.

$ABCM121xN605$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN.$ В них $∠ABC$ — общий, $∠BAC = ∠BMN$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AC$ и $MN$ и секущей $AB.$ Следовательно, треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AC-- BC-- MN = BN 20 x+-15 16 = x 5 x+ 15 4 = --x-- 5x= 4⋅(x+ 15) 5x =4x +60 x= 60

Значит, $BN = 60.$

Ответ: 60

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#95532Максимум баллов за задание: 2

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN,$ если $MN =18,$ $AC = 42,$ $NC = 40.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 6

Показать ответ и решение

Пусть $BN = x.$ Тогда

BC = BN + NC = x +40.

$ABCM144xN820$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN.$ В них $∠ABC$ — общий, $∠BAC = ∠BMN$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AC$ и $MN$ и секущей $AB.$ Следовательно, треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

AC--= BC-- MN BN 42 = x+-40 18 x 7 x+-40 3 = x 7x= 3⋅(x+ 40) 7x= 3x+ 120 4x= 120 x= 30

Значит, $BN = 30.$

Ответ: 30

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2