18 №23. Тип 18 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#57415Максимум баллов за задание: 2

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C.$ Найдите длину отрезка $KP,$ если $AK = 18,$ а сторона $AC$ в 1,2 раза больше стороны $BC.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как четырёхугольник $KBCP$ вписан в окружность, то

∘ ∠P KB + ∠BCP = 180.

Тогда

∘ ∠BCP = 180 − ∠PKB.

$∠P KB$ и $∠PKA$ смежные, поэтому

∠P KB + ∠P KA = 180∘,

следовательно,

∘ ∠PKA =180 − ∠P KB = ∠BCP.

Рассмотрим треугольники $AP K$ и $ABC.$ Так как $∠BAC$ — общий и $∠AKP = ∠ACB,$ то треугольники $APK$ и $ABC$ подобны по двум углам.

$ABCKP18$

Запишем отношение подобия треугольников $AP K$ и $ABC :$

AK- P-K AC = BC ,

следовательно,

AK- = AC- =1,2. P K BC

Значит,

P K = AK-= 18-= 180-= 15. 1,2 1,2 12

Ответ: 15

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#95729Максимум баллов за задание: 2

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C.$ Найдите длину отрезка $KP,$ если $AK = 14,$ а сторона $AC$ в 2 раза больше стороны $BC.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как четырёхугольник $KBCP$ вписан в окружность, то

∘ ∠P KB + ∠BCP = 180.

Тогда

∘ ∠BCP = 180 − ∠PKB.

$∠P KB$ и $∠PKA$ смежные, поэтому

∠P KB + ∠P KA = 180∘,

следовательно,

∘ ∠PKA =180 − ∠P KB = ∠BCP.

Рассмотрим треугольники $AP K$ и $ABC.$ Так как $∠BAC$ — общий и $∠AKP = ∠ACB,$ то треугольники $APK$ и $ABC$ подобны по двум углам.

$ABCKP14$

Запишем отношение подобия треугольников $AP K$ и $ABC :$

AK- P-K AC = BC ,

следовательно,

AK- = AC-= 2. PK BC

Значит,

PK = AK- = 14= 7. 2 2

Ответ: 7

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95730Максимум баллов за задание: 2

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C.$ Найдите длину отрезка $KP,$ если $AK = 6,$ а сторона $AC$ в 1,5 раза больше стороны $BC.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как четырёхугольник $KBCP$ вписан в окружность, то

∘ ∠P KB + ∠BCP = 180.

Тогда

∘ ∠BCP = 180 − ∠PKB.

$∠P KB$ и $∠PKA$ смежные, поэтому

∠P KB + ∠P KA = 180∘,

следовательно,

∘ ∠PKA =180 − ∠P KB = ∠BCP.

Рассмотрим треугольники $AP K$ и $ABC.$ Так как $∠BAC$ — общий и $∠AKP = ∠ACB,$ то треугольники $APK$ и $ABC$ подобны по двум углам.

$ABCKP6$

Запишем отношение подобия треугольников $AP K$ и $ABC :$

AK- P-K AC = BC ,

следовательно,

AK- = AC- =1,5. P K BC

Значит,

P K = AK-= -6-= 60 = 4. 1,5 1,5 15

Ответ: 4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95731Максимум баллов за задание: 2

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C.$ Найдите длину отрезка $KP,$ если $AK = 16,$ а сторона $AC$ в 1,6 раза больше стороны $BC.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как четырёхугольник $KBCP$ вписан в окружность, то

∘ ∠P KB + ∠BCP = 180.

Тогда

∘ ∠BCP = 180 − ∠PKB.

$∠P KB$ и $∠PKA$ смежные, поэтому

∠P KB + ∠P KA = 180∘,

следовательно,

∘ ∠PKA =180 − ∠P KB = ∠BCP.

Рассмотрим треугольники $AP K$ и $ABC.$ Так как $∠BAC$ — общий и $∠AKP = ∠ACB,$ то треугольники $APK$ и $ABC$ подобны по двум углам.

$ABCKP16$

Запишем отношение подобия треугольников $AP K$ и $ABC :$

AK- P-K AC = BC ,

следовательно,

AK- = AC- =1,6. P K BC

Значит,

P K = AK-= 16-= 160-= 10. 1,6 1,6 16

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#26594Максимум баллов за задание: 2

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C.$ Найдите длину отрезка $KP,$ если $AK = 7,$ а сторона $AC$ в $1,4$ раза больше стороны $BC.$

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко, Вариант 36

Показать ответ и решение

Так как четырёхугольник $KBCP$ вписан в окружность, то

∘ ∠P KB + ∠BCP = 180.

Тогда

∘ ∠BCP = 180 − ∠PKB.

$∠P KB$ и $∠PKA$ смежные, поэтому

∠P KB + ∠P KA = 180∘,

следовательно,

∘ ∠PKA =180 − ∠P KB = ∠BCP.

Рассмотрим треугольники $AP K$ и $ABC.$ Так как $∠BAC$ — общий и $∠AKP = ∠ACB,$ то треугольники $APK$ и $ABC$ подобны по двум углам.

$ABCKP7$

Запишем отношение подобия треугольников $AP K$ и $ABC :$

AK- P-K AC = BC ,

следовательно,

AK- = AC- =1,4. P K BC

Значит,

P K = AK-= -7-= 70 = 5. 1,4 1,4 14

Ответ: 5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2