31 №16. Тип 31 - Каталог заданий по ОГЭ - Математика в Школково

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#48490Максимум баллов за задание: 1

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $√ - 4 2$ . Найдите диагональ этого квадрата.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — диагональ квадрата. Тогда по теореме Пифагора имеем:

d2 =a2 +a2 2 2 d = 2√a- d= a 2

Проведём радиус в точку касания окружности с нижней стороной квадрата. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижней стороне.

Аналогично проведём радиус в точку касания окружности с верхней стороной квадрата. Этот радиус также перпендикулярен верхней стороне.

$√√ - a44 22$

Так как противоположные стороны квадрата параллельны, то между радиусами не образуется «излом» и оба радиуса лежат на одной прямой.

Отрезок из двух радиусов делит квадрат на два равных прямоугольника, следовательно, длина этого отрезка равна стороне квадрата, а сторона квадрата равна двум радиусам:

a= 2⋅4√2-= 8√2.

$d88√√22$

Значит, диагональ квадрата со стороной $√ - 8 2$ равна:

√ - √- √ - d= a 2= 8 2 ⋅ 2= 16.

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#116461Максимум баллов за задание: 1

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $√ - 10 2$ . Найдите диагональ этого квадрата.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — диагональ квадрата. Тогда по теореме Пифагора имеем:

d2 =a2 +a2 2 2 d = 2√a- d= a 2

Проведём радиус в точку касания окружности с нижней стороной квадрата. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижней стороне.

Аналогично проведём радиус в точку касания окружности с верхней стороной квадрата. Этот радиус также перпендикулярен верхней стороне.

$√√ - a1010 22$

Так как противоположные стороны квадрата параллельны, то между радиусами не образуется «излом» и оба радиуса лежат на одной прямой.

Отрезок из двух радиусов делит квадрат на два равных прямоугольника, следовательно, длина этого отрезка равна стороне квадрата, а сторона квадрата равна двум радиусам:

a= 2⋅10√2 = 20√2.

$d2200√√22$

Значит, диагональ квадрата со стороной $√ - 20 2$ равна:

√- √ - √- d= a 2 =20 2⋅ 2 = 40.

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#123995Максимум баллов за задание: 1

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $√ - 6 2$ . Найдите диагональ этого квадрата.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — диагональ квадрата. Тогда по теореме Пифагора имеем:

d2 =a2 +a2 2 2 d = 2√a- d= a 2

Проведём радиус в точку касания окружности с нижней стороной квадрата. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижней стороне.

Аналогично проведём радиус в точку касания окружности с верхней стороной квадрата. Этот радиус также перпендикулярен верхней стороне.

$√√ - a66 22$

Так как противоположные стороны квадрата параллельны, то между радиусами не образуется «излом» и оба радиуса лежат на одной прямой.

Отрезок из двух радиусов делит квадрат на два равных прямоугольника, следовательно, длина этого отрезка равна стороне квадрата, а сторона квадрата равна двум радиусам:

a = 2⋅6√2 =12√2.

$d1122√√22$

Значит, диагональ квадрата со стороной $√ - 12 2$ равна:

√- √ - √- d= a 2 =12 2⋅ 2 = 24.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#133851Максимум баллов за задание: 1

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $√ - 14 2$ . Найдите диагональ этого квадрата.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — диагональ квадрата. Тогда по теореме Пифагора имеем:

d2 =a2 +a2 2 2 d = 2√a- d= a 2

Проведём радиус в точку касания окружности с нижней стороной квадрата. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижней стороне.

Аналогично проведём радиус в точку касания окружности с верхней стороной квадрата. Этот радиус также перпендикулярен верхней стороне.

$√√ - a1414 22$

Так как противоположные стороны квадрата параллельны, то между радиусами не образуется «излом» и оба радиуса лежат на одной прямой.

Отрезок из двух радиусов делит квадрат на два равных прямоугольника, следовательно, длина этого отрезка равна стороне квадрата, а сторона квадрата равна двум радиусам:

a= 2⋅14√2 = 28√2.

$d2288√√22$

Значит, диагональ квадрата со стороной $√ - 28 2$ равна:

√- √ - √- d= a 2 =28 2⋅ 2 = 56.

Ответ: 56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#133852Максимум баллов за задание: 1

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $√ - 18 2$ . Найдите диагональ этого квадрата.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — диагональ квадрата. Тогда по теореме Пифагора имеем:

d2 =a2 +a2 2 2 d = 2√a- d= a 2

Проведём радиус в точку касания окружности с нижней стороной квадрата. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижней стороне.

Аналогично проведём радиус в точку касания окружности с верхней стороной квадрата. Этот радиус также перпендикулярен верхней стороне.

$√√ - a1818 22$

Так как противоположные стороны квадрата параллельны, то между радиусами не образуется «излом» и оба радиуса лежат на одной прямой.

Отрезок из двух радиусов делит квадрат на два равных прямоугольника, следовательно, длина этого отрезка равна стороне квадрата, а сторона квадрата равна двум радиусам:

a= 2⋅18√2 = 36√2.

$d3366√√22$

Значит, диагональ квадрата со стороной $√ - 36 2$ равна:

√- √ - √- d= a 2 =36 2⋅ 2 = 72.

Ответ: 72

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#133854Максимум баллов за задание: 1

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $√ - 24 2$ . Найдите диагональ этого квадрата.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — диагональ квадрата. Тогда по теореме Пифагора имеем:

d2 =a2 +a2 2 2 d = 2√a- d= a 2

Проведём радиус в точку касания окружности с нижней стороной квадрата. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижней стороне.

Аналогично проведём радиус в точку касания окружности с верхней стороной квадрата. Этот радиус также перпендикулярен верхней стороне.

$√√ - a2424 22$

Так как противоположные стороны квадрата параллельны, то между радиусами не образуется «излом» и оба радиуса лежат на одной прямой.

Отрезок из двух радиусов делит квадрат на два равных прямоугольника, следовательно, длина этого отрезка равна стороне квадрата, а сторона квадрата равна двум радиусам:

a= 2⋅24√2 = 48√2.

$d4488√√22$

Значит, диагональ квадрата со стороной $√ - 48 2$ равна:

√- √ - √- d= a 2 =48 2⋅ 2 = 96.

Ответ: 96

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#133855Максимум баллов за задание: 1

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $√ - 16 2$ . Найдите диагональ этого квадрата.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — диагональ квадрата. Тогда по теореме Пифагора имеем:

d2 =a2 +a2 2 2 d = 2√a- d= a 2

Проведём радиус в точку касания окружности с нижней стороной квадрата. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижней стороне.

Аналогично проведём радиус в точку касания окружности с верхней стороной квадрата. Этот радиус также перпендикулярен верхней стороне.

$√√ - a1616 22$

Так как противоположные стороны квадрата параллельны, то между радиусами не образуется «излом» и оба радиуса лежат на одной прямой.

Отрезок из двух радиусов делит квадрат на два равных прямоугольника, следовательно, длина этого отрезка равна стороне квадрата, а сторона квадрата равна двум радиусам:

a= 2⋅16√2 = 32√2.

$d3322√√22$

Значит, диагональ квадрата со стороной $√ - 32 2$ равна:

√- √ - √- d= a 2 =32 2⋅ 2 = 64.

Ответ: 64

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#133856Максимум баллов за задание: 1

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $√ - 2 2$ . Найдите диагональ этого квадрата.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — диагональ квадрата. Тогда по теореме Пифагора имеем:

d2 =a2 +a2 2 2 d = 2√a- d= a 2

Проведём радиус в точку касания окружности с нижней стороной квадрата. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижней стороне.

Аналогично проведём радиус в точку касания окружности с верхней стороной квадрата. Этот радиус также перпендикулярен верхней стороне.

$√√ - a22 22$

Так как противоположные стороны квадрата параллельны, то между радиусами не образуется «излом» и оба радиуса лежат на одной прямой.

Отрезок из двух радиусов делит квадрат на два равных прямоугольника, следовательно, длина этого отрезка равна стороне квадрата, а сторона квадрата равна двум радиусам:

a= 2⋅2√2-= 4√2.

$d44√√22$

Значит, диагональ квадрата со стороной $√ - 4 2$ равна:

√- √ - √- d = a 2= 4 2⋅ 2 = 8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#133857Максимум баллов за задание: 1

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $√ - 8 2$ . Найдите диагональ этого квадрата.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — диагональ квадрата. Тогда по теореме Пифагора имеем:

d2 =a2 +a2 2 2 d = 2√a- d= a 2

Проведём радиус в точку касания окружности с нижней стороной квадрата. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижней стороне.

Аналогично проведём радиус в точку касания окружности с верхней стороной квадрата. Этот радиус также перпендикулярен верхней стороне.

$√√ - a88 22$

Так как противоположные стороны квадрата параллельны, то между радиусами не образуется «излом» и оба радиуса лежат на одной прямой.

Отрезок из двух радиусов делит квадрат на два равных прямоугольника, следовательно, длина этого отрезка равна стороне квадрата, а сторона квадрата равна двум радиусам:

a = 2⋅8√2 =16√2.

$d1166√√22$

Значит, диагональ квадрата со стороной $√ - 16 2$ равна:

√- √ - √- d= a 2 =16 2⋅ 2 = 32.

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#133858Максимум баллов за задание: 1

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $√ - 22 2$ . Найдите диагональ этого квадрата.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — диагональ квадрата. Тогда по теореме Пифагора имеем:

d2 =a2 +a2 2 2 d = 2√a- d= a 2

Проведём радиус в точку касания окружности с нижней стороной квадрата. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижней стороне.

Аналогично проведём радиус в точку касания окружности с верхней стороной квадрата. Этот радиус также перпендикулярен верхней стороне.

$√√ - a2222 22$

Так как противоположные стороны квадрата параллельны, то между радиусами не образуется «излом» и оба радиуса лежат на одной прямой.

Отрезок из двух радиусов делит квадрат на два равных прямоугольника, следовательно, длина этого отрезка равна стороне квадрата, а сторона квадрата равна двум радиусам:

a= 2⋅22√2 = 44√2.

$d4444√√22$

Значит, диагональ квадрата со стороной $√ - 44 2$ равна:

√- √ - √- d= a 2 =44 2⋅ 2 = 88.

Ответ: 88