Тема 10. Сюжетные текстовые задачи

10.05 Задачи на движение по воде

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сюжетные текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#101561Максимум баллов за задание: 1

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 609 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 25 км/ч, стоянка длится 1 час, а в пункт отправления теплоход возвращается через 51 час. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $x$ км/ч — скорость течения. При этом $0< x <25.$ Заметим, что если теплоход проплыл от пункта отправления в пункт назначения и обратно, то он ровно один раз плыл по течению и один раз — против течения.

Заполним таблицу:

|--------------|-------------|-------------|---------| |Направление----|Скорость, км/ч|Расстояние, км|В-рем-я, ч| |Против течения| 25 − x | 609 | -609-- | |--------------|-------------|-------------|--25-− x--| | | | | 609 | |По течению | 25 +x | 609 | 25-+x- | -----------------------------------------------------

На путь туда и обратно с учетом остановки теплоход потратил 51 час. Так как остановка длилась 1 час, то на путь туда и обратно теплоход потратил $51 − 1 = 50$ часов. Следовательно, получаем уравнение

609 609 25−-x + 25-+x = 50 609⋅(25-+x)+-609⋅(25−-x)= 50 (25 − x)(25+ x) 609⋅25⋅2 = 50 625− x2 --609-- 625− x2 =1

Так как $0< x < 25,$ можем домножить обе части уравнения на $2 625− x > 0,$ получаем:

609 =625− x2 −16= − x2 2 x = 16 x = ±4

Так как $x >0,$ скорость течения равна 4 км/ч.

Ответ: 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#101562Максимум баллов за задание: 1

Катер в 10:00 вышел по течению реки из пункта А в пункт В, расположенный в 35 км от А. Пробыв в пункте В 4 часа, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18:00 того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как катер выехал из пункта А в 10:00 и вернулся обратно в 18:00, то он затратил на весь путь с учетом остановки $18− 10= 8$ часов. Так как в пункте В катер сделал остановку на 4 часа, то на весь путь от А до В и обратно катер затратил $8− 4= 4$ часа.

За эти 4 часа катер прошел 35 км по течению, и 35 — против течения.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. При этом $x> 3,$ так как катер может плыть против течения. Составим таблицу:

|--------------|-------------|-------------|---------| |Направление----|Скорость, км/ч|Расстояние, км|В-рем-я, ч| |По течению | x+ 3 | 35 | -35-- | |--------------|-------------|-------------|--x+-3---| | | | | -35-- | -Против течения-----x−-3-----------35---------x−-3---|

Так как мы знаем, что на весь путь катер потратила 4 часа, составим уравнение:

-35-- -35-- x − 3 + x+ 3 =4 35(x+ 3)+ 35(x− 3) ---(x+-3)(x-− 3)-- =4 35x-+-35-⋅32+-35x-−-35-⋅3= 4 x − 9 -70x- = 4 x2− 9

Так как $x >3,$ то можем домножить обе части уравнения на $x2 − 9.$ Получим

70x= 4(x2− 9) 35x= 2(x2− 9) 2 35x =2x − 18 2x2− 35x − 18 = 0

Найдем дискриминант:

D = 352+ 4⋅2⋅18= 352+ 144= = 1225+ 144= 1369= 372.

Тогда корни квадратного уравнения равны:

35+-37 72 35−-37 x1 = 2⋅2 = 4 = 18 и x2 = 4 < 0.

Так как $x >3,$ собственная скорость катера равна 18 км/ч.

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#101564Максимум баллов за задание: 1

Катер в 10:00 вышел по течению реки из пункта А в пункт В, расположенный в 40 км от А. Пробыв 3 часа в пункте В, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 16:00 того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как катер выехал из пункта А в 10:00 и вернулся обратно в 16:00, то он затратил на весь путь с учетом остановки $16− 10= 6$ часов. Так как в пункте В катер сделал остановку на 3 часа, то на весь путь от А до В и обратно катер затратил $6− 3= 3$ часа.

За эти 3 часа катер прошел 40 км по течению, и 40 — против течения.

|--------------|-------------|-------------|---------| |Направление----|Скорость, км/ч|Расстояние, км|В-рем-я, ч| |По течению | x+ 3 | 40 | -40-- | |--------------|-------------|-------------|--x+-3---| | | | | -40-- | -Против течения-----x−-3-----------40---------x−-3---|

Так как мы знаем, что на весь путь катер потратила 3 часа, составим уравнение:

-40-- -40-- x − 3 + x+ 3 =3 40(x+ 3)+ 40(x− 3) ---(x+-3)(x-− 3)-- =3 40x-+-40-⋅32+-40x-−-40-⋅3= 3 x − 9 -80x- = 3 x2− 9

Так как $x >3,$ то можем домножить обе части уравнения на $x2 − 9.$ Получим

80x= 3(x2− 9) 80x =3x2− 27 2 3x − 80x − 27 = 0

Найдем дискриминант:

2 2 2 D = 80 + 4⋅3⋅27= 2 (40 + 81)= = 22(1600+ 81)= 22⋅1681 =22 ⋅412 = 822.

Тогда корни квадратного уравнения равны:

x1 = 80-+82 = 162= 27 и x2 = 80−-82< 0. 2⋅3 6 6

Так как $x >3,$ собственная скорость катера равна 27 км/ч.

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#101565Максимум баллов за задание: 1

Расстояние между пристанями А и В равно 192 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 3 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 92 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость яхты в неподвижной воде равна $x$ км/ч, при этом $x > 4,$ так как по условию яхта может плыть против течения, скорость которого равна 4 км/ч. Составим таблицу:

|--------------|-------------|-------------|---------| |Направление----|Скорость, км/ч|Расстояние, км|В-рем-я, ч| | | | | -192-- | |По-течению-----|----x+-4-----|-----192-----|--x+-4---| | | | | 192 | |Против течения| x− 4 | 192 | x−-4- | -----------------------------------------------------

Плот плывет со скоростью течения, равной 4 км/ч. Тогда на путь в 92 км плот затратил

92 4-= 23 часа.

Так как яхта выехала на 3 часа позже, её время, затраченное на путь из А в В и обратно, на 3 часа меньше времени пути плота. Составим уравнение:

-192-+ -192--= 23 − 3 x +4 x− 4 192(x-− 4)+-192(x+-4) (x + 4)(x− 4) = 20 192x− 192⋅4+ 192x+ 192⋅4 -------(x-+-4)(x−-4)------= 20 2⋅2192x-= 20 (x − 16) --96x---= 5 (x2− 16)

Так как $x >4,$ можем домножить обе части уравнения на $( 2 ) x − 16 > 0,$ получим:

(2 ) 96x =5 x − 16 96x =5x2− 80 5x2− 96x − 80 = 0

Найдем дискриминант:

D = 962+ 4⋅5⋅80= 42⋅242+ 42⋅100 = 2 2 2 2 = 4 ⋅(576+ 100)= 4 ⋅26 = 104 .

Значит, корни квадратного уравнения равны

x1 = 96+-104= 20 и x2 = 96−-104< 0. 2⋅5 2⋅9

Так как $x >4,$ скорость яхты в неподвижной воде равна 20 км/ч.

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#1982Максимум баллов за задание: 1

Два теплохода в момент времени $t= 0 ч$ отправились по реке из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу. Скорость течения реки при $t∈ [0;5] ч$ составляла $2 км/ч$ , а при $t∈(5;10] ч$ составляла $|sin(t− 5)− 2cos(t− 5)| км/ч$ . Известно, что собственная скорость одного из теплоходов равна $20 км/ч$ , а собственная скорость другого теплохода — $22 км/ч$ . Кроме того, расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно $357 км$ , а теплоходы встретились в момент $t= t0 ч$ . Найдите $t0$ .

Показать ответ и решение

Время, прошедшее с момента отправления до момента встречи, равно отношению суммарного расстояния к скорости сближения.

Независимо от того, какой была скорость течения, куда оно было направлено, у какого из теплоходов скорость была $22 км/ ч$ , скорость сближения теплоходов всё равно будет $20 + 22 = 42 км/ ч$ . Таким образом,

t0 = 357-= 8,5 ч 42

Ответ: 8,5