Комбинаторика, перечисления (страница 5)
Друг составляет пары чисел, используя цифры от 1 до 6. Первое число состоит из 2 цифр, а второе — из 5. Цифры в каждом из чисел могут использоваться только 1 раз или не использоваться совсем. Сколько различных пар чисел друг может составить?
В первом числе друг может на первую позицию поставить одну из 6 цифр, а на вторую — одну из 5 оставшихся. Значит первое число можно составить \(6 \cdot 5 = 30\) различными способами. Во втором числе на первой позиции может стоять любая из 6 цифр, на второй — любая из 5 оставшихся, на третьей — любая из 4 оставшихся, на четвёртой — любая из 3 оставшихся и на пятой — любая из 2 оставшихся цифр. Значит второе число можно составить \(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 720\) различными способами.
Представим, что первые числа — чашки, а вторые числа — блюдца. Сколько различных вариаций кружка+чашка можно составить?
Можно составить \(30 \cdot 720 = 21600\) различных пар чисел (блюдец с чашкой).
Друг составляет четырёхзначные числа, используя цифры от 1 до 9 включительно. Цифры в числе могут повторяться. Число начинается с чётной цифры, а заканчивается на нечётную цифру. Сколько различных чисел друг может составить?
Первой цифрой числа может быть одна из 4 чётных цифр, а последней цифрой числа может быть одна из 5 нечётных цифр. На каждое оставшееся место в числе можно поставить любую из 9 цифр. Значит друг может составить \(4 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 5 = 1620\) различных чисел.
Друг составляет шестизначные числа, используя цифры от 1 до 5 включительно. Цифры в числе могут повторяться. Число начинается с нечётной цифры, а заканчивается на чётную цифру. Сколько различных чисел друг может составить?
Первой цифрой числа может быть одна из 3 нечётных цифр, а последней цифрой числа может быть одна из 2 чётных цифр. На каждое оставшееся место в числе можно поставить любую из 5 цифр. Значит друг может составить \(3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2= 3750\) различных чисел.
Друг составляет пятизначные числа, используя цифры от 2 до 8 включительно. Цифры в числе могут использоваться только один раз или не использоваться совсем. Рядом с чётными числами не должно стоять чётных, а рядом с нечётными не должно стоять нечётных. Сколько различных чисел друг может составить?
Пусть первая цифра числа чётная, тогда она может быть одиной из 4 цифр. Вторая нечётная, она может быть одной из 3 цифр. Третья чётная, она может быть одной из 3 оставшихся чётных чисел. Четвёртая нечётная, она может быть одной из 2 оставшихся нечётных цифр. Пятая чётная, может быть одной из 2 оставшихся чётных. Значит в таком случае друг может составить \(4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 144\) различных числа. Если первая цифра нечётная, то по той же логике мы можем составить \(3 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1 = 72\) различных чисел. Всего друг может составить 144 + 72 = 216 чисел.
Друг составляет пятизначные числа, используя цифры от 0 до 9 включительно. Цифры в числе могут использоваться только один раз или не использоваться совсем. Число начинается с цифры 5. Сколько различных чисел, имеющих три подряд идущие четные цифры, друг может составить?
Первой цифрой числа является 5, она нечётная. Значит либо на 2, 3 и 4 месте в слове должны стоять чётные цифры, либо на 3, 4 и 5, всего 2 варианта. Изначально у нас есть 5 четных цифр, после того, как мы поставим любую из них, на второе место мы сможем поставить лишь одну из 4 оставшихся цифр,а на третье — одну из 3 оставшихся. В обоих случаях мы используем 4 цифры, тогда на последнее оставшееся место в числе можно поставить любую из 6 оставшихся цифр. Значит друг может составить \(2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 6 = 720\) различных чисел.
Друг составляет трёхзначные числа, используя цифры от 1 до 5 включительно. Цифры в числе могут повторяться. Сколько различных чисел, не начинающихся с цифр 2 и 3, друг может составить?
Первой цифрой числа может быть любая из цифр, кроме 2 и 3, т.е. любая из 3 оставшихся. На 2 и 3 месте в слове может стоять любая из 5 цифр. Значит друг может составить \(3 \cdot 5 \cdot 5 = 75\) различных чисел.
Друг составляет пятизначные числа, используя цифры от 2 до 7 включительно. Цифры в числе могут повторяться. Сколько различных чисел, начинающихся с цифры 5, друг может составить?
Первой цифрой числа должна быть цифрой 5. На 2, 3, 4 и 5 месте в слове может стоять любая из 6 цифр. Значит друг может составить \(6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 1296\) различных чисел.
