Комбинаторика, перечисления (страница 9)
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Все 5-буквенные слова, в составе которых могут быть буквы А, С, Д, Р, Е, записаны в определённом порядке и пронумерованы, начиная с 1. Ниже приведено начало списка.
1. ААААА
2. ААААС
3. ААААД
4. ААААР
5. ААААЕ
6. АААСА
\(\dots\)
Сколько слов между словами “СРЕДА” и “АДРЕС”?
Исходя из порядка букв в списке, присвоим им следующие коды: А — 0, С — 1, Д — 2, Р — 3, Е — 4. Тогда первое слово — 00000, второе — 00001 и т.д. Слово “СРЕДА” будет кодироваться как 13420, а слово “АДРЕС” будет кодироваться как 02341. Т.к. для кодирования слов потребовалось всего 5 разных букв, то коды будут представлены в пятеричной системе счисления. Вычтем код слова “АДРЕС” из кода слова “СРЕДА” и получим следующее:
\[\begin{array}{r} - \begin{array}{r} 13420_5\\ 2341_5\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} 11024_5\\ \end{array} \end{array}\]
Разница номеров слов составляет \(11024_5 = 764_{10},\) а значит между ними ровно 763 слова (т.к. при вычитании номеров мы учитываем на одно слово больше).
Дима составляет 4-буквенные слова из букв П, И, К, С, Е, Л, Ь. Каждая из букв может встречаться в слове ровно один раз или не встречаться совсем. Сколько различных слов может составить Дима?
Первой буквой Дима может поставить любую из 7 букв, т.е. выбрать эту букву одним из семи способов. Второй буквой Дима может поставить любую из 6 оставшихся букв, т.е. выбрать её 6 способами, т.к. одна из допустимых букв уже использована. По той же логике, третью букву он может выбрать 5 способами, а четвёртую —- 4 способами. Всего Дима может составить \(7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840\) различных слов.
Рома составляет 5-буквенные слова из букв М, А, С, И, В. Каждая из букв может встречаться в слове сколько угодно раз или не встречаться совсем, причём слово должно начинаться с буквы С. Сколько различных слов может составить Рома?
Первой буквой Рома ставит С, поставить её он может единственным способом. На любое из 4 оставшихся мест он может поставить любую из 5 букв, а значит на каждое из этих мест букву можно поставить 5 способами. Всего Рома может составить \(1 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625\) различных слов.
Кирилл составляет 6-буквенные слова из букв Р, Е, Ц, П, Т. Каждая из букв может встречаться в слове сколько угодно раз или не встречаться совсем. Сколько различных слов может составить Кирилл?
На любое из 6 мест Кирилл может поставить любую из 5 букв, а значит на каждое из этих мест букву можно поставить 5 способами. Всего Кирилл может составить \(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 15625\) различных слов.
Кадыр составляет 6-буквенные слова из букв К, О, М, П, И, Л, Я, Т, Р. Каждая из букв может встречаться в слове ровно один раз или не встречаться совсем, причём последней буквой слова должна быть Р. Сколько различных слов может составить Кадыр?
На последнее место Кадыр ставит букву Р, сделать это он может единственным способом. На первое место он ставит любую из 8 оставшихся букв, т.к. буква Р уже использована, и делает он это одним из 8 способов. На второе он ставит любую из 7 оставшихся, на третье — любую из 6 оставшихся, на четвертое — любую из 5 оставшихся, а на третье — любую из 4 оставшихся. Всего Кадыр может составить \(8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 1 = 6720\) различных слов.
Лиза составляет 5-буквенные слова из букв С, Е, Р, В. Каждая из букв может встречаться в слове сколько угодно раз или не встречаться совсем. Сколько различных слов может составить Лиза?
На каждое из 5 мест в слове Лиза ставит любую из 4 букв. Всего Лиза может составить \(4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 1024\) различных слова.
Алина составляет 6-буквенные слова из букв Б, Ю, Д, Ж, Е, Т. Каждая из букв может встречаться в слове только один раз, причём буква Б должна стоять первой, а буква Ю — второй. Сколько различных слов может составить Алина?
Алина ставит на первое место букву Б, а на второе — Ю. На третье место она ставит любую из 4 оставшихся букв, т.к. 2 буквы уже использованы, на четвёртое — одну из 3 оставшихся, на пятое — одну из 2 оставшихся и на последнее место оставшуюся букву. Всего Алина может составить \(1 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\) различных слова.
