Сложные логические выражения (страница 5)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((\overline x \vee y \vee \overline z) \wedge (\overline x \equiv (\overline y \vee z))\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 1 & 0 & 1 \\ \hline \text{0} & 1 & 1 & 1 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Конъюнкция истинна, когда обе скобки будут истинны. Обратим внимание на вторую и третью строчки. Они примечательны тем, что в них \(F = 1\) тогда, когда две переменные принимают значение 1, а третья переменная значение 0. Заметим, что если \(y = 0, \; z = 1, \; x = 1,\) то \(F = 0,\) так как первая скобка будет ложной. Используя вторую и третью строчки, мы поймём, что \(y\) не может занимать первый и второй столбец, следовательно, \(y\) занимает третий столбец.
2. Обратимся к первой строчке. В ней \(y = 0.\) Следовательно, \((\overline y \vee z) = 1.\) В таком случае \(x = 0\) для истинности эквивалентности. Значит, \(x\) занимает первый столбец, а \(z\) занимает второй.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \equiv (\overline y \vee z)) \rightarrow (x \wedge y)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Импликация будет ложна, когда первая скобка будет истинна, а вторая будет ложна. Рассмотрим третью строчку. Предположим, что \(x\) занимает третий столбец. Но тогда первая скобка будет ложной, а значит, импликация будет истинной. Если \(z\) занимает третий столбец, то аналогично первая скобка будет ложной, и, как следствие, импликация будет истинной. Значит, можно убедиться в том, что \(y\) занимает третий столбец в данном фрагменте таблицы истинности.
2. Обратимся ко второй строке. Рассмотрим два варианта: когда \(x = 1, \; z = 0,\) и вариант, когда \(x = 0, \; z = 1.\) Во втором случае первая скобка будет ложной, а значит, импликация будет истинной. Из этого можно сделать вывод, что подойдёт первый вариант, \(x\) будет занимать первый столбец, а \(z\) занимать второй.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \vee y) \wedge (z \rightarrow (\overline x \wedge y))\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Для того, чтобы \(F = 0,\) конъюнкция должна быть ложной. Рассмотрим первую строчку. Предположим, что \(x\) занимает первый столбец. Тогда \((z \rightarrow (\overline x \wedge y)) = 1, \; (x \vee y) = 1,\) а это значит, что \(F = 1.\) Если \(y\) занимает первый столбец, то конъюнкция будет также истинна. Следовательно, первый столбец занимает переменная \(z.\)
2. Рассмотрим вторую строчку. Если \(x\) занимает второй столбец, а \(y\) третий, то обе скобки будут истинны, а значит, и конъюнкция будет истинна. Значит, \(y\) занимает второй столбец, а \(x\) занимает третий столбец.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((z \equiv x) \vee ((z \vee y) \rightarrow x)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) ложна.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{0} & ??? & 0 & 0 \\ \hline \text{0} & ??? & ??? & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Рассмотрим первую строчку данного фрагмента. Предположим, что все переменные принимают значение 0, следовательно, \((z \equiv x) = 1,\) а значит, \(F = 1.\) Значит все переменные не могут быть равны 0. То есть во второй ячейке первой строки находится 1. Заметим, что для \(F = 0\) переменные \(z, \; x\) должны принимать разные значения. Значит во второй ячейке первой строки находится одна из этих переменных. Предположим, что это место занимает \(x.\) Однако тогда импликация во второй скобке будет истинной, а значит, и вся дизъюнкция будет истинной. Следовательно, второй столбец занят переменной \(z.\)
2. Рассмотрим вторую строчку. Если третью ячейку этой строки занимает 0, то вторую ячейку должна занять 1, а значит, строчка совпадет со второй строкой. Значит третью ячейку занимает 1. Две другие ячейке не могут быть одновременно нулями, следовательно, вторую ячейку занимает 1. Предположим, что в первом столбце \(y.\) Но мы поняли, что \(z\) и \(x\) должны принимать равные значения (а в данном случае обе переменные равны 1). Следовательно, первый столбец занимает \(x,\) а третий столбец занимает \(y.\)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\((x \wedge y) \equiv (\overline z \equiv x) \)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F.\)
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{1} & 0 & 0 & 0 \\ \hline \text{1} & 1 & 0 & 0 \\ \hline \text{0} & 0 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Рассмотрим вторую строку фрагмента таблицы истинности. Предположим, что \(y\) занимает третий столбец. Тогда \((x \wedge y) = 0, \; (\overline z \equiv x) = 0,\) а значит, \(F = 1.\) Если \(z\) занимает третий столбец, то эквивалентность будет истинна, так как обе скобки будут истинными. Следовательно, третий столбец занимает переменная \(x.\)
2. Используем первую строку: \(x = 0\) в ней. Значит, первая скобка будет принимать значение 0. Тогда для того, чтобы эквивалентность была ложной, надо, чтобы вторая скобка была истинна. Это будет достигнуто, если \(z = 1.\) Следовательно, переменная \(z\) занимает первый столбец, а \(y\) занимает второй.
Логическая функция \(F\) задаётся выражением:
\(z \wedge \overline {(y \equiv z)} \wedge (y \rightarrow x)\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых фукнция \(F\) истинна.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline ???&???&???&F\\ \hline \text{???} & 1 & ??? & 1 \\ \hline \text{???} & 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(x, y, z.\)
1. Для истинности выражения \(z = 1.\) Этому будет удовлетворять только первый столбец, так как в остальных присутствует 0.
2. Для истинности второй скобки переменные \(y, \; z\) должны быть представлены разными значениями. Для этого рассмотрим первую строчку. Раз в ней \(z = 1,\) то \(y = 0.\) А это значит, что третья ячейка равна 0, а также третий столбец занимает переменная \(y.\) Значит второй столбец занят переменной \(x.\)
Логическая функция \(F\) задаётся выражением \(w \wedge (x \vee \overline y) \wedge \overline{w \equiv z}.\)
Ниже представлен фрагмент таблицы истинности функции \(F,\) содержащий неповторяющиеся строки, при которых функция \(F\) истинна.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline ???&???&???& ???& F\\ \hline 1 & ??? & 0 & 0 & 1 \\ \hline ??? & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & ??? & ??? & 1 \\ \hline \end{array}\]
Определите, какому столбцу таблицы истинности функции \(F\) соответствует каждая переменная \(w,\) \(x,\) \(y,\) \(z.\)
Заметим, что во всех трех строках \(F = 1.\) Чтобы конъюнкция была истинна (все высказывания, входящие в нее, должны быть истинны), \(w\) всегда должна равняться единице. Этому условию соответствует только первый столбец, т.к в других присутствует хотя бы один ноль. Также \(x \vee\overline y\) и \(\overline {w \equiv z}\) должны быть истинны, чтобы конъюнкция была истинна.
Если \((\overline {w \equiv z}) = 1,\) то \((w \equiv z) = 0.\)
Мы уже знаем, что \(w = 1.\) Тогда чтобы операция эквивалентности \(w \equiv z\) была ложна, \(z\) должна быть равна 0 (операция эквивалентности ложна, если одно высказывание, входящее в нее, ложно, а другое истинно). Тогда \(z\) — это второй или третий столбец, потому что первый — это уже \(w,\) а в четвертом во второй строке содержится единица.
Рассмотрим вторую строчку. Её удобно рассматривать, так как нам известно, что в первом столбце будет единица (так как он соответствует \(w),\) значит, нам известны все значения в этой строке. Таким образом, в этой строке две единицы и два нуля. Если \(y = 1,\) то \(x = 0\) (так как в строке всего две единицы, которые при таком предположении уже соответствуют \(w\) и \(y).\) Но тогда \(x \vee \overline y = 0 \vee 0 = 0.\) Такое нам не подходит, ведь функция \(F\) должна быть истинна. Значит, \(x\) должна быть равна 1. Она будет соответствовать четвертому столбцу.
Разберемся со вторым и третьим столбцами. Предположим, что \(z\) соответствует третьему столбцу, тогда \(y\) - это второй столбец. Рассмотрим первую строку. \(x = 0,\) значит, чтобы \(x \vee \overline y\) была истинна, \(\overline y\) должна быть равна 1 и \(y = 0.\) Тогда таблица истинности из условия будет выглядеть так:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline w &y & z & x & F \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & ??? & 1 \\ \hline \end{array}\]
Нам сказано, что в приведенном фрагменте таблицы истинности содержатся неповторяющиеся строки. Если \(x = 1,\) то третья строка будет совпадать со второй. Если \(x = 0,\) то третья строка будет совпадать с первой. Значит, наше предположение было неверным. Тогда второй столбец — это \(z,\) а третий — это \(y.\)
Тогда таблица будет выглядеть так:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline w & z & y & x & F \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & ??? & ??? & 1 \\ \hline \end{array}\]
Если \(y = 1,\) то \(x = 1\) (чтобы \(x \vee \overline y\) была истинна). Если \(y = 0,\) то \(x\) может быть любым (так как одно из высказываний, входящих в дизъюнкцию, уже истинно), но такие значения уже содержатся в первых двух строках.
Значит, итоговая таблица будет выглядеть так:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline w & z &y & x& F\\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]
