Использование формул сокращенного умножения с квадратами (страница 3)

Возведем в квадрат числитель по формуле \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\):

\[(\sqrt7+\sqrt{17})^2=(\sqrt7)^2+2\cdot \sqrt7\cdot \sqrt{17}+(\sqrt{17})^2= 7+2\sqrt{7\cdot 17}+17=24+2\sqrt{119}=2(12+\sqrt{119})\]

Таким образом, все выражение примет вид:

\[\dfrac{2(12+\sqrt{119})}{12+\sqrt{119}}=2.\]

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: \[\dfrac1{4b}-\dfrac1a=\dfrac{a-4b}{4ab}\] Числитель дроби \(\dfrac{a^2-16b^2}{4ab}\) можно преобразовать по формуле разности квадратов \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\): \[\dfrac{a^2-16b^2}{4ab}=\dfrac{(a-4b)(a+4b)}{4ab}\] Тогда все выражение примет вид: \[\dfrac{(a-4b)(a+4b)}{4ab}:\dfrac{a-4b}{4ab}= \dfrac{(a-4b)(a+4b)}{4ab}\cdot \dfrac{4ab}{a-4b}=a+4b\qquad (4ab\ne 0, \ a-4b\ne 0)\]Тогда при \(a=3\,\frac1{13}\), \(b=4\,\frac3{13}\) мы получим: \[3\,\dfrac1{13}+4\cdot 4\,\dfrac3{13}=3+\dfrac1{13}+ 4\cdot \left(4+\dfrac3{13}\right)=3+16+\dfrac1{13}+\dfrac{12}{13}=19+\dfrac{13}{13}=20\]

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: \[\dfrac a{9b}-\dfrac{9b}a=\dfrac{a^2-(9b)^2}{9ab}\] Числитель получившейся дроби можно преобразовать по формуле разности квадратов \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\): \[\dfrac{a^2-(9b)^2}{9ab}=\dfrac{(a-9b)(a+9b)}{9ab}\] Тогда все выражение примет вид: \[\dfrac{9ab}{a+9b}\cdot \dfrac{(a-9b)(a+9b)}{9ab}= a-9b\qquad (9ab\ne 0, \ a+9b\ne 0)\]Тогда при \(a=9\sqrt 8+4\), \(b=\sqrt 8-4\) мы получим: \[9\sqrt 8+4-9(\sqrt 8-4)=9\sqrt 8+4-9\sqrt 8+36=40\]

По формуле квадрата разности \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) выражение \(x^2-14x+49\) можно преобразовать: \(x^2-2\cdot x\cdot 7+7^2=(x-7)^2\).
Заметим также, что \(a:\frac bc=a\cdot \frac cb\). Следовательно, \[(x-7)\cdot \dfrac{x+7}{(x-7)^2}=\dfrac{x+7}{x-7}=\dfrac{-13+7}{-13-7}= \dfrac{-6}{-20}=0,3\]

По формуле квадрата суммы \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) выражение \(x^2+16x+64\) можно преобразовать: \(x^2+2\cdot x\cdot 8+8^2=(x+8)^2\).
Заметим также, что \(a:\frac bc=a\cdot \frac cb\). Следовательно, \[(x+8)\cdot \dfrac{x-8}{(x+8)^2}=\dfrac{x-8}{x+8}=\dfrac{12-8}{12+8}=\dfrac 4{20}= 0,2\]

По формуле разности квадратов \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\) можно преобразовать числитель: \((1-a)(1+a)\).
Знаменатель можно разложить на множители: \(5a(a+1)\).
Тогда вся дробь примет вид \[\dfrac{(1-a)(1+a)}{5a(a+1)}=\dfrac{1-a}{5a}\qquad (a+1\ne 0)\] Следовательно, при \(a=-2\) значение выражения равно \[\dfrac{1-(-2)}{5\cdot (-2)}=-\dfrac{3}{10}=-0,3\]

По формуле разности квадратов \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\) можно преобразовать числитель: \((a-9)(a+9)\).
Знаменатель можно разложить на множители: \(2a(a-9)\).
Тогда вся дробь примет вид \[\dfrac{(a-9)(a+9)}{2a(a-9)}=\dfrac{a+9}{2a}\qquad (a-9\ne 0)\] Следовательно, при \(a=-0,1\) значение выражения равно \[\dfrac{-0,1+9}{2\cdot (-0,1)}=-\dfrac{8,9}{0,2}=-\dfrac{89}2=-44,5\]