Формулы и задачи по тригонометрии (страница 4)
В треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\), \(CH\) – высота, \(AB=26\), \(\mathrm{tg}\,\angle B=5\). Найдите \(AH\).
По определению из \(\triangle ABC\): \[\dfrac{AC}{BC}=\mathrm{tg}\,\angle B=\dfrac 51\] Следовательно, можно принять \(AC=5x\), \(BC=x\). Тогда по теореме Пифагора \(x^2+(5x)^2=26^2\), откуда \(x=\sqrt{26}\).
Тогда \[\sin\angle B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac5{\sqrt{26}}\] По свойству прямоугольного треугольника \(\angle B=\angle HCA\). Следовательно, из \(\triangle HCA\): \[\dfrac5{\sqrt{26}}=\sin \angle HCA=\dfrac{AH}{AC}\quad\Rightarrow\quad
AH=25\]
В треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\), \(CH\) – высота, \(AB=13\), \(\mathrm{tg}\,\angle A=0,2\). Найдите \(AH\).
Так как по определению из \(\triangle ABC\): \[\dfrac{BC}{AC}=\mathrm{tg}\,\angle A=\dfrac 15\] то можно принять \(BC=x\), \(AC=5x\). Следовательно, по теореме Пифагора \[BC^2+AC^2=AB^2\quad\Rightarrow\quad x^2+(5x)^2=13^2\quad\Rightarrow\quad x^2=\dfrac{13}2\] Из \(\triangle AHC\): \[\cos \angle A=\dfrac{AH}{AC}\] Из \(\triangle ABC\): \[\cos \angle A=\dfrac{AC}{AB}\] Следовательно: \[\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AC}{AB}\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac{AC^2}{AB}=\dfrac{(5x)^2}{13}=\dfrac{25}2=12,5\]
