Описанная окружность (страница 2)

По теореме синусов \[\dfrac{AB}{\sin\angle C}=2R\] Следовательно, \[AB=2R\cdot \sin\angle C=2\cdot 3\cdot \sin30^\circ=3\]

По теореме синусов \[\dfrac{AB}{\sin\angle C}=2R\] Следовательно, \[R=\dfrac12\cdot \dfrac{1}{\sin150^\circ}=\dfrac12\cdot \dfrac1{\frac12}=1\]

\(\angle FAB\), \(\angle BCD\) и \(\angle DEF\) – вписанные, тогда \(\angle FAB = 0,5\cdot\smile FEDCB\), \(\angle BCD = 0,5\cdot\smile BAFED\), \(\angle DEF = 0,5\cdot\smile FABCD\).

Таким образом, \[\begin{aligned} \angle FAB + \angle BCD + \angle DEF &= 0,5\cdot\smile FEDCB + 0,5\cdot \smile BAFED + 0,5\cdot\smile FABCD =\\ &= 0,5(\smile FEDCB + \smile BAFED + \smile FABCD) = 0,5\cdot 2l = l, \end{aligned}\] где \(l\) – градусная мера окружности.

Так как \(l = 360^\circ\), то \(\angle FAB + \angle BCD + \angle DEF = 360^\circ\).

Если в выпуклом четырёхугольнике сумма противоположных углов равна \(180^{\circ}\), то около него можно описать окружность, тогда около \(ABCD\) можно описать окружность.



\(\angle CBD\) и \(\angle CAD\) – вписанные, опирающиеся на одну дугу, тогда они равны и их отношение равно 1.

Так как \(\angle ABC = \angle ADC\), то около четырёхугольника \(ABDC\) можно описать окружность. Покажем это:



\(\angle AMB\) и \(\angle DMC\) – вертикальные, тогда \(\angle AMB = \angle DMC\); \(\angle ABC = \angle ADC\), тогда треугольники \(ABM\) и \(DMC\) – подобны по двум углам, откуда получаем: \[\dfrac{AM}{MC} = \dfrac{BM}{MD},\] но углы \(BMD\) и \(AMC\) также вертикальные, тогда \(\angle BMD = \angle AMC\) и треугольники \(BMD\) и \(AMC\) – подобны, так как если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а стороны, образующие этот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Из подобия получаем: \(\angle CBD = \angle CAD\), \(\angle MCD = BAM\), тогда \(\angle ABC + \angle CBD + \angle ACB + \angle BCD = \angle ABC + \angle CAD + \angle ACB + \angle BAM = 180^{\circ}\), так как это сумма углов треугольника \(ABC\).

Если в выпуклом четырёхугольнике сумма противоположных углов равна \(180^{\circ}\), то около него можно описать окружность, тогда около \(ABDC\) можно описать окружность.

Так как произведение отрезков одной из пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой, то \(AM \cdot MD = BM \cdot MC\), то есть \(60 = 8\cdot MC\), откуда \(MC = 7,5\).

1 способ.
Рассмотрим чертеж:



Пусть \(O\) – центр окружности, \(A, B, C\) – три последовательные вершины правильного многоугольника. Тогда \(\angle ABC=108^\circ\).
Заметим, что правильный многоугольник не может иметь 3 или 4 вершины, так как в этом случае это будет правильный треугольник или квадрат, а у этих фигур угол между соседними сторонами равен \(60^\circ\) и \(90^\circ\) соответственно.
Проведем \(OA, OB, OC\) – радиусы. Так как \(AB=BC\), то \(\triangle AOB=\triangle BOC\). К тому же эти треугольники равнобедренные (\(AB\) и \(BC\) их основания), следовательно, \(\angle ABO=\angle CBO=0,5\cdot 108^\circ=54^\circ\). Отсюда \(\angle AOB=180^\circ-2\cdot 54^\circ=72^\circ\).
Значит, дуга \(AB\) равна \(72^\circ\). Так как равные хорды стягивают равные дуги, а все стороны многоугольника равны (он правильный), то \(n\) вершин многоугольника разбивают окружность на \(n\) дуг, градусные меры которых равны \(72^\circ\). То есть \(72^\circ\cdot n=360^\circ\), откуда \(n=5\).

2 способ.
Так как многоугольник правильный, его угол равен \(108^\circ\), а сумма всех углов правильного многоугольника равна \(180^\circ\cdot (n-2)\), где \(n\) – число вершин, то \[108^\circ\cdot n=180^\circ(n-2)\quad\Rightarrow\quad n=5\] В таком случае информацию о том, что многоугольник вписан в окружность, мы не использовали.

\(\angle HAB\), \(\angle BCD\), \(\angle DEF\) и \(\angle FGH\) – вписанные, тогда \(\angle HAB = 0,5\cdot\smile BCDEFGH\), \(\angle BCD = 0,5\cdot\smile DEFGHAB\), \(\angle DEF = 0,5\cdot\smile FGHABCD\), \(\angle FGH = 0,5\cdot\smile HABCDEF\).



Назовём меньшую дугу \(\smile AB\) малой. Аналогично назовём меньшие дуги \(\smile BC\), ..., \(\smile HA\) малыми.

Каждую из дуг \(\smile BCDEFGH\), \(\smile DEFGHAB\), \(\smile FGHABCD\), \(\smile HABCDEF\) можно разложить в сумму малых дуг.

\(\angle HAB + \angle BCD + \angle DEF + \angle FGH = 0,5\cdot\)(сумму некоторых малых дуг). Остаётся понять, сколько раз в данную сумму войдёт каждая малая дуга.

Например, \(\smile AB\) войдёт трижды (среди слагаемых \(\smile BCDEFGH\), \(\smile DEFGHAB\), \(\smile FGHABCD\), \(\smile HABCDEF\) она не входит только в \(\smile BCDEFGH\)).

Аналогично любая дуга войдёт в данную сумму трижды, следовательно, \[\angle HAB + \angle BCD + \angle DEF + \angle FGH = 0,5\cdot 3l,\] где \(l\) – градусная мера окружности.

Так как \(l = 360^\circ\), то \(\angle HAB + \angle BCD + \angle DEF + \angle FGH = 540^\circ\).