Описанная окружность (страница 3)

Рассмотрим картинку:

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\), \(\buildrel\smile\over{BC}\), \(\buildrel\smile\over{DE}\), \(\buildrel\smile\over{EA}\) равны:

\[\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{BC}= \buildrel\smile\over{DE}=\buildrel\smile\over{EA}=\alpha.\]

Пусть \(\buildrel\smile\over{CD}=\beta\).

Следовательно, вписанный угол \[\angle CAE=\frac12\left(\alpha+\beta\right)=75^\circ. \qquad (1)\]

Т.к. градусная мера всей окружности равна \(360^\circ\), то

\[4\alpha+\beta=360^\circ \qquad (2)\]

Решая систему из уравнений \((1)\) и \((2)\), получаем, что \(\alpha=70^\circ, \beta=80^\circ\).

Следовательно, \(\angle A=\frac12\left(2\alpha+\beta\right)=110^\circ\).

Рассмотрим картинку:

Докажем, что данный четырехугольник является квадратом.

Т.к. хорды \(AB\) и \(CD\) равны, то равны дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\) и \(\buildrel\smile\over{CD}\). Следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, будут тоже равны:

\[\angle ADB=\angle ACB=\angle DAC=\angle DBC\]

Таким образом, \(\angle ADB=\angle DBC\) – накрест лежащие при прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(BD\), следовательно, \(AD\parallel BC\).

Аналогичным образом доказывается, что \(AB\parallel CD\).

Таким образом, \(ABCD\) – параллелограмм. Т.к. он вписанный, то это – прямоугольник. Т.к. все его стороны равны, то это квадрат.

В квадрате центр описанной окружности лежит на пересечении диагоналей, следовательно, \(AC=2R=6\). По свойству квадрата \(AD=AC\div \sqrt2=3\sqrt2\). Следовательно, площадь

\[S_{ABCD}=AD^2=(3\sqrt2)^2=18.\]

Замечание.

Можно было доказать, что \(ABCD\) – квадрат, другим способом:

\(\triangle ABD=\triangle CBD\) по трем сторонам. Следовательно, \(\angle A=\angle C\). Но т.к. четырехугольник вписанный, то сумма противоположных углов равна \(180^\circ\), следовательно, \(\angle A+\angle C=180^\circ\). Отсюда следует, что \(\angle A=\angle C=90^\circ\). Аналогично \(\angle B=\angle D=90^\circ\). По признаку четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Но т.к. у него еще и все стороны равны, то это квадрат.

Рассмотрим картинку:

Т.к. хорды \(AB\) и \(CD\) равны, то равны дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\) и \(\buildrel\smile\over{CD}\). Следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, будут тоже равны:

\[\angle ADB=\angle ACB=\angle DAC=\angle DBC\]

Таким образом, \(\angle ADB=\angle DBC\) – накрест лежащие при прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(BD\), следовательно, \(AD\parallel BC\).

Аналогичным образом доказывается, что \(AB\parallel CD\).

Таким образом, \(ABCD\) – параллелограмм. Т.к. он вписанный, то это – прямоугольник.

В прямоугольнике центр описанной окружности лежит на пересечении диагоналей. Следовательно, по теореме Пифагора \(AC=\sqrt{5^2+12^2}=13\), а \(R=\frac12AC=6,5\).

Замечание.

Можно было доказать, что \(ABCD\) – прямоугольник, другим способом:

\(\triangle ABD=\triangle CBD\) по трем сторонам. Следовательно, \(\angle A=\angle C\). Но т.к. четырехугольник вписанный, то сумма противоположных углов равна \(180^\circ\), следовательно, \(\angle A+\angle C=180^\circ\). Отсюда следует, что \(\angle A=\angle C=90^\circ\). Аналогично \(\angle B=\angle D=90^\circ\). По признаку четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.

Рассмотрим картинку:

Т.к. хорды \(LE\) и \(GO\) равны, то равны дуги \(\buildrel\smile\over{LE}\) и \(\buildrel\smile\over{GO}\). Следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, будут тоже равны:

\[\angle LOE=\angle LGE=\angle OLG=\angle OEG\]

Таким образом, \(LEGO\) – трапеция (\(\angle LOE=\angle OEG\) – накрест лежащие при прямых \(EG\) и \(LO\) и секущей \(EO\)). Значит, \(\angle L+\angle E=180^\circ\) как сумма односторонних углов при параллельных прямых.

Рассмотрим картинку:

По признаку около этого четырехугольника можно описать окружность. Следовательно, сумма двух противоположных его углов равна \(180^\circ\). Таким образом, \[\angle A-\angle B+\angle C-\angle D= (\angle A+\angle C)-(\angle B+\angle D)=180^\circ-180^\circ=0^\circ.\]

Рассмотрим картинку:

Т.к. треугольники \(AOB\), \(BOC\) – равнобедренные, то \(\angle OBA=\angle OAB=20^\circ\), \(\angle OBC=\angle OCB=30^\circ\). Следовательно, \(\angle B=20^\circ+30^\circ=50^\circ\).

Т.к. \(\angle AOC\) – центральный угол, опирающийся на ту же дугу \(AC\), что и вписанный \(\angle B\), то \(\angle AOC=2\angle B=100^\circ\).

Рассмотрим картинку:

Т.к. треугольники \(AOB\), \(BOC\), \(COA\) – равнобедренные, то \(\angle OBA=\angle OAB=\beta\), \(\angle OCB=\angle OBC=\gamma\), \(\angle OCA=\angle OAC=\alpha\).
Значит, \(\beta+\gamma=50^\circ\).

Т.к. сумма углов треугольника \(ABC\) равна \(180^\circ\), то \[(\beta+\alpha)+(\alpha+\gamma)+(\gamma+\beta)=180^\circ \quad \Rightarrow \quad 2\alpha=180^\circ-2(\beta+\gamma)=80^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha=40^\circ.\]