Описанная окружность (страница 4)

Рассмотрим картинку:

Т.к. треугольники \(AOB\), \(BOC\) – равнобедренные, то \(\angle OBA=\angle OAB=20^\circ\), \(\angle OBC=\angle OCB=30^\circ\). Следовательно, \(\angle B=20^\circ+30^\circ=50^\circ\).

Т.к. \(\angle AOC\) – центральный угол, опирающийся на ту же дугу \(AC\), что и вписанный \(\angle B\), то \(\angle AOC=2\angle B=100^\circ\).

Рассмотрим картинку:

По признаку около этого четырехугольника можно описать окружность. Следовательно, сумма двух противоположных его углов равна \(180^\circ\). Таким образом, \[\angle A-\angle B+\angle C-\angle D= (\angle A+\angle C)-(\angle B+\angle D)=180^\circ-180^\circ=0^\circ.\]

Рассмотрим картинку:

Т.к. хорды \(LE\) и \(GO\) равны, то равны дуги \(\buildrel\smile\over{LE}\) и \(\buildrel\smile\over{GO}\). Следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, будут тоже равны:

\[\angle LOE=\angle LGE=\angle OLG=\angle OEG\]

Таким образом, \(LEGO\) – трапеция (\(\angle LOE=\angle OEG\) – накрест лежащие при прямых \(EG\) и \(LO\) и секущей \(EO\)). Значит, \(\angle L+\angle E=180^\circ\) как сумма односторонних углов при параллельных прямых.

Рассмотрим картинку:

Т.к. хорды \(AB\) и \(CD\) равны, то равны дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\) и \(\buildrel\smile\over{CD}\). Следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, будут тоже равны:

\[\angle ADB=\angle ACB=\angle DAC=\angle DBC\]

Таким образом, \(\angle ADB=\angle DBC\) – накрест лежащие при прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(BD\), следовательно, \(AD\parallel BC\).

Аналогичным образом доказывается, что \(AB\parallel CD\).

Таким образом, \(ABCD\) – параллелограмм. Т.к. он вписанный, то это – прямоугольник.

В прямоугольнике центр описанной окружности лежит на пересечении диагоналей. Следовательно, по теореме Пифагора \(AC=\sqrt{5^2+12^2}=13\), а \(R=\frac12AC=6,5\).

Замечание.

Можно было доказать, что \(ABCD\) – прямоугольник, другим способом:

\(\triangle ABD=\triangle CBD\) по трем сторонам. Следовательно, \(\angle A=\angle C\). Но т.к. четырехугольник вписанный, то сумма противоположных углов равна \(180^\circ\), следовательно, \(\angle A+\angle C=180^\circ\). Отсюда следует, что \(\angle A=\angle C=90^\circ\). Аналогично \(\angle B=\angle D=90^\circ\). По признаку четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.

Рассмотрим картинку:

Докажем, что данный четырехугольник является квадратом.

Т.к. хорды \(AB\) и \(CD\) равны, то равны дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\) и \(\buildrel\smile\over{CD}\). Следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, будут тоже равны:

\[\angle ADB=\angle ACB=\angle DAC=\angle DBC\]

Таким образом, \(\angle ADB=\angle DBC\) – накрест лежащие при прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(BD\), следовательно, \(AD\parallel BC\).

Аналогичным образом доказывается, что \(AB\parallel CD\).

Таким образом, \(ABCD\) – параллелограмм. Т.к. он вписанный, то это – прямоугольник. Т.к. все его стороны равны, то это квадрат.

В квадрате центр описанной окружности лежит на пересечении диагоналей, следовательно, \(AC=2R=6\). По свойству квадрата \(AD=AC\div \sqrt2=3\sqrt2\). Следовательно, площадь

\[S_{ABCD}=AD^2=(3\sqrt2)^2=18.\]

Замечание.

Можно было доказать, что \(ABCD\) – квадрат, другим способом:

\(\triangle ABD=\triangle CBD\) по трем сторонам. Следовательно, \(\angle A=\angle C\). Но т.к. четырехугольник вписанный, то сумма противоположных углов равна \(180^\circ\), следовательно, \(\angle A+\angle C=180^\circ\). Отсюда следует, что \(\angle A=\angle C=90^\circ\). Аналогично \(\angle B=\angle D=90^\circ\). По признаку четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Но т.к. у него еще и все стороны равны, то это квадрат.

Рассмотрим картинку:

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\), \(\buildrel\smile\over{BC}\), \(\buildrel\smile\over{DE}\), \(\buildrel\smile\over{EA}\) равны:

\[\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{BC}= \buildrel\smile\over{DE}=\buildrel\smile\over{EA}=\alpha.\]

Пусть \(\buildrel\smile\over{CD}=\beta\).

Следовательно, вписанный угол \[\angle CAE=\frac12\left(\alpha+\beta\right)=75^\circ. \qquad (1)\]

Т.к. градусная мера всей окружности равна \(360^\circ\), то

\[4\alpha+\beta=360^\circ \qquad (2)\]

Решая систему из уравнений \((1)\) и \((2)\), получаем, что \(\alpha=70^\circ, \beta=80^\circ\).

Следовательно, \(\angle A=\frac12\left(2\alpha+\beta\right)=110^\circ\).

Рассмотрим картинку:

Во-первых, т.к. окружность описана около треугольника \(BCD\), то ее центр \(O\) – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Следовательно, \(O\) лежит на серединном перпендикуляре к \(BD\) – а это и есть \(CA\) по свойству ромба (диагонали взаимно перпендикулярны). Таким образом, \(CK\) – диаметр этой окружности.

Рассмотрим треугольники \(CDO\) и \(ADK\).

1) Т.к. \(\angle CDK\) опирается на диаметр \(CK\), то он равен \(90^\circ\). Т.к. \(AD\) – касательная к окружности, то угол между ней и радиусом \(OD\) равен \(90^\circ\). Заметим, что углы \(\angle CDK\) и \(\angle ODA\) имеют общую часть – угол \(ODK\). Следовательно, т.к. они равны, то равны и другие их части: \(\angle CDO=\angle ADK=\alpha\).

2) Т.к. треугольник \(CDO\) равнобедренный (\(CO=OD\) – радиусы), то \(\angle DCO=\alpha\). Т.к. треугольник \(CDA\) равнобедренный, то \(\angle DAK=\angle DCO=\alpha\).

3) Таким образом, по стороне и двум прилежащим к ней углам (\(CD=DA, \ \angle DCO=\angle CDO=\angle ADK=\angle DAK\)) треугольники \(CDO\) и \(ADK\) равны. Следовательно, \(KA=CO\).

Значит, \[\dfrac{CK}{KA}=\dfrac{2CO}{CO}=2.\]