Квадратные уравнения (страница 3)

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем \((6,25x)^2 + 137,5x + 121 = (6,25x)^2 + 112,5x + 81\), что равносильно \(25x = -40\), откуда \(x = -1,6\) – подходит по ОДЗ.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем \(16x^2 + 40x + 25 = 16x^2 + 32x + 16\), что равносильно \(8x = -9\), откуда \(x = -1,125\) – подходит по ОДЗ.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Дискриминант данного уравнения \(D = 49 - 24 = 25 = 5^2\). Корни \(x_1 = \dfrac{7 + 5}{4} = 3, \ x_2 = \dfrac{7 - 5}{4} = 0,5\) – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 0,5\) – меньший корень уравнения.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Дискриминант данного уравнения \(D = 121 - 28 \cdot 4 = 121 - 112 = 9 = 3^2\). Корни \[x_1 = \dfrac{11 + 3}{2} = 7, \ x_2 = \dfrac{11 - 3}{2} = 4\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 7\) – больший корень уравнения.

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

После умножения на 7 левой и правой частей имеем \(4x^2 = 324\), что равносильно \(x^2 = 81\), что равносильно \(x = \pm 9\) – подходят по ОДЗ. Таким образом, больший из корней \(9\).

Т.к. \(D=57-4\cdot 2\cdot 7=1>0\), то уравнение имеет корни.

1 способ.
Пусть \(a\) и \(b\) – корни уравнения. Тогда \(a+b=-\dfrac{\sqrt{57}}2\), \(ab=\dfrac72\). \[a^2+b^2=a^2+2ab+b^2-2ab=(a+b)^2-2ab \quad\Rightarrow\quad a^2+b^2= \left(-\dfrac{\sqrt{57}}2\right)^2-2\cdot \dfrac72=\dfrac{57}4-7=7,25.\]

2 способ.
Корни уравнения \[x_1=\dfrac{-\sqrt{57}-1}4\qquad\text{и}\qquad x_2=\dfrac{-\sqrt{57}+1}4\] Тогда \[\begin{aligned} &x_1^2= \left(\dfrac{-\sqrt{57}-1}4\right)^2=\dfrac{57+2\sqrt{57}+1}{16}\\[2ex] &x_2^2=\left(\dfrac{-\sqrt{57}+1}4\right)^2=\dfrac{57-2\sqrt{57}+1}{16}\\[2ex] &\Rightarrow \quad x_1^2+x_2^2=\dfrac{57+2\sqrt{57}+1}{16}+\dfrac{57-2\sqrt{57}+1}{16}=7,25. \end{aligned}\]
Заметим, что первый способ вычислительно проще.

1 способ.
Раскроем скобки: \[1-2x+x^2+1=2-2x\quad\Leftrightarrow\quad x^2=0\quad\Leftrightarrow\quad x=0.\]

2 способ.
Преобразуем: \[(1-x)^2-2(1-x)+1^2=0\quad\Leftrightarrow\quad(1-x-1)^2=0\quad\Leftrightarrow \quad (-x)^2=0\quad\Leftrightarrow\quad x=0.\]