Задачи на клетчатой бумаге (страница 3)

Отметим точки \(A, B, C\) и проведем отрезок \(CH\), как показано на рисунке:



Заметим, что \(CH\perp AB\). Следовательно, площадь треугольника равна \[S=\dfrac12\cdot AB\cdot CH=\dfrac12\cdot 9\cdot 5=22,5\]

Отметим точки и проведем отрезки, как показано на рисунке:



Заметим, что точки \(O, K, L\) находятся в узлах решетки и образуют прямоугольный \(\triangle OKL\), который к тому же является равнобедренным. Следовательно, \(\angle KOL=45^\circ\).
\(\angle AOB=90^\circ\). Следовательно, \(\angle AOC=135^\circ\).
Таким образом, закрашенный сектор составляет \(135:360=3:8\) части от всего круга, значит, его площадь равна \[\dfrac 38\cdot 16=6\]

Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ANL\):



Все точки \(A, N, L\) лежат в узлах решетки, \(NL\) – гипотенуза этого треугольника и сторона квадрата. Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то \[S=NL^2=AN^2+AL^2=2^2+7^2=53\]

Продлим одну из сторон тупого угла \(A\) на отрезок \(AC\) так, чтобы \(BC\perp AC\):



Заметим, что все вершины треугольника \(ABC\) находятся в узлах решетки, причем \(AC=4, BC=3\). Тогда \(AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\). Так как косинус острого угла (в прямоугольном треугольнике) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, то \[\cos \angle BAC=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac45=0,8\] Угол \(BAC\) с тупым углом \(A\) – смежные, следовательно, их косинусы противоположны, значит, косинус тупого угла \(A\) равен \(-0,8\).

Продлим одну из сторон тупого угла \(A\) на отрезок \(AC\) так, чтобы \(BC\perp AC\):



Заметим, что все вершины треугольника \(ABC\) находятся в узлах решетки, причем \(AC=3, BC=4\). Тогда \(AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\). Так как синус острого угла (в прямоугольном треугольнике) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то \[\sin \angle BAC=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac45=0,8\] Угол \(BAC\) с тупым углом \(A\) – смежные, следовательно, их синусы равны, значит, синус тупого угла \(A\) равен также \(0,8\).

Отметим точки \(A, B, C\), проведем отрезок \(BC\):



Заметим, что все вершины треугольника \(ABC\) находятся в узлах решетки, причем \(AC=4, BC=3\). Тогда \(AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\). Так как синус острого угла (в прямоугольном треугольнике) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то \[\sin \angle A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac35=0,6\]

Пусть \(O\) – центр окружности.



Пусть сторона клетки равна \(1\). Точки \(O\) и \(A\) находятся в узлах решетки, причем \(AO\) – гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника \(AOK\) (с катетами \(2\)). Следовательно, \(\angle AOK=\angle OAK=45^\circ\).
\(\angle AOC=\angle AOK=45^\circ\) – центральный угол, опирающийся на хорду \(AC\). Тогда градусная мера дуги \(AC\) также равна \(45^\circ\).