6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

Задачи на клетчатой бумаге (страница 3)

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела 6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II:

Это старая версия каталога задач

Нажмите для перехода на новую версию

\(\blacktriangleright\) Помним, что каждая клетка представляет собой квадрат.

 

\(\blacktriangleright\) В равных прямоугольниках равны диагонали.

 

\(\blacktriangleright\) Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.


 

\(\blacktriangleright\) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы.
И наоборот: катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла \(30^\circ\) (рис. 1).

 

\(\blacktriangleright\) Медиана, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является высотой и биссектрисой (рис. 2).

Решаем задачи
Задание 15 #3714

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.

Показать решение

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит в середине его гипотенузы, то есть радиус этой окружности равен половине гипотенузы. У данного прямоугольного треугольника гипотенуза равна \(5\). Следовательно, радиус равен \(2,5\).

Ответ: 2,5
Задание 16 #3715

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его биссектрисы, выходящей из вершины прямого угла.

Показать решение

Так как треугольник равнобедренный, то биссектриса, проведенная к гипотенузе-основанию, является также медианой. По свойству медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. У данного прямоугольного треугольника гипотенуза равна \(5\). Следовательно, медиана (она же биссектриса) равна \(2,5\).

Ответ: 2,5
Задание 17 #3716

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его высоты, выходящей из вершины прямого угла.

Показать решение

Так как треугольник равнобедренный, то высота, проведенная к гипотенузе-основанию, является также медианой. По свойству медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. У данного прямоугольного треугольника гипотенуза равна \(5\). Следовательно, медиана (она же высота) равна \(2,5\).

Ответ: 2,5
Задание 18 #3717

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) отмечены точки \(A, B, C\). Найдите расстояние от точки \(A\) до прямой \(BC\).

Показать решение

Проведем прямую \(BC\) и перпендикуляр \(AH\):



Из рисунка видно, что \(AH=4\).

Ответ: 4
Задание 19 #3718

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен ромб. Найдите его площадь.

Показать решение

Проведем диагонали данного ромба:



Площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, следовательно, \[S=\dfrac12\cdot 4\cdot 6=12\]

Ответ: 12
Задание 20 #3719

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Показать решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Большее основание равно \(11\), меньшее равно \(5\), следовательно, средняя линия равна \((11+5):2=8\).

Ответ: 8
Задание 21 #3720

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен равносторонний треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.

Показать решение

Отметим точки \(A, B, C, E\):



\(BE\perp AC\), причем \(BE=9\). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, в равностороннем треугольнике серединные перпендикуляры – это и высоты, и медианы, и биссектрисы.
То есть центр описанной окружности лежит на высоте \(BE\), которая также является и медианой. Пусть \(O\) – центр этой окружности (а значит, и точка пересечения медиан треугольника). Так как медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины, то \(OB:OE=2:1\), откуда \[OB=\dfrac23BE=6\] Заметим, что по определению радиус описанной около треугольника окружности – это отрезок, соединяющий центр окружности с вершиной треугольника, то есть \(OB\). Таким образом, радиус равен \(6\).

Ответ: 6
12

3

4

...

6
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!